2徳島大学 2025年 数学 第2問解答・解説

結論　 (1) $t=-3,0,1,2$。　 (2) $(a,b,c,d)=(-2,0,2,-3)$。　 (3) $t$が実数全体を動くときの$f(t)$の最小値は$\frac{15}{16}$。

(1) $x=0$ が(*)の解であるための条件は定数項が0となることである。$$t^4-7t^2+6t=t(t^3-7t+6)=t(t-1)(t-2)(t+3)=0.$$よって $t=-3,0,1,2$。

(2) $\alpha(t)=t^2+at+b$、$\beta(t)=t^2+ct+d$ とおく。これらが(*)の二つの解であるから、解と係数の関係より $$\alpha(t)+\beta(t)=2t^2-3,\qquad \alpha(t)\beta(t)=t^4-7t^2+6t.$$第一式の係数を比較して $a+c=0,\ b+d=-3$。また、積を展開すると $$\alpha(t)\beta(t)=t^4+(a+c)t^3+(b+d+ac)t^2+(ad+bc)t+bd.$$これを比較すると $b+d+ac=-7,\ ad+bc=6,\ bd=0$。$a+c=0$ より $c=-a,\ ac=-a^2$ なので、$b+d=-3$ と合わせて $-3-a^2=-7$、すなわち $a^2=4$。$b+d=-3,\ bd=0$ から $(b,d)=(0,-3)$ または $(-3,0)$ である。条件 $b>d$ より $b=0,\ d=-3$。さらに $ad+bc=a(d-b)=6$ より $-3a=6$、したがって $a=-2,\ c=2$。よって $(a,b,c,d)=(-2,0,2,-3)$。

(3) (2)より $$\alpha(t)=t^2-2t,\qquad \beta(t)=t^2+2t-3.$$定義から $f(t)=\max\{|\alpha(t)|,|\beta(t)|\}$ であり、$$|\alpha(t)-\beta(t)|=|3-4t|\leqq|\alpha(t)|+|\beta(t)|\leqq2f(t).$$ $t\leqq\frac9{32}$ または $t\geqq\frac{39}{32}$ ならば $|3-4t|\geqq\frac{15}{8}$ なので $f(t)\geqq\frac{15}{16}$。次に $\frac9{32}\leqq t\leqq\frac{39}{32}$ を考える。

$\frac9{32}\leqq t\leqq\frac34$ では $\beta(t)=(t+3)(t-1)<0$ で、$\beta(t)$ は増加するから $$|\beta(t)|\geqq\left|\beta\left(\frac34\right)\right|=\frac{15}{16}.$$よって $f(t)\geqq\frac{15}{16}$。

$\frac34\leqq t\leqq1$ では $\alpha(t)=t^2-2t\leqq\alpha\left(\frac34\right)=-\frac{15}{16}<0$ であるから、$f(t)\geqq|\alpha(t)|\geqq\frac{15}{16}$。

$1\leqq t\leqq\frac{39}{32}$ では $\alpha(t)<0$ かつ増加するので $$f(t)\geqq|\alpha(t)|\geqq\left|\alpha\left(\frac{39}{32}\right)\right|=\frac{975}{1024}>\frac{15}{16}.$$以上より、すべての実数 $t$ について $f(t)\geqq\frac{15}{16}$。$t=\frac34$ では $$\alpha\left(\frac34\right)=\beta\left(\frac34\right)=-\frac{15}{16}$$となり、$f\left(\frac34\right)=\frac{15}{16}$。したがって、$f(t)$ の最小値は $$\boxed{\frac{15}{16}}.$$