3和歌山県立医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$1<a\leqq4$、$f(x)=ax(1-x)$ とする。

(1) $0\leqq x\leqq1$ のとき

$$x(1-x)=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2$$

より、$0\leqq x\leqq1$ では $x(1-x)\geqq0$ かつ $x(1-x)\leqq1/4$ である。また $a>0$、$a\leqq4$ なので

$$0\leqq f(x)=a x(1-x)\leqq\frac a4\leqq1.$$

したがって $0\leqq f(x)\leqq1$。

(2) $f(x)=x$ の実数解

$$ax(1-x)=x \text{、すなわち } x\{a(1-x)-1\}=0.$$

よって

$$x=0\quad\text{または}\quad x=1-\frac1a.$$

条件 $a>1$ から $1-1/a>0$ であり、二つの解は異なる。さらに $a\leqq4$ より $1-1/a\leqq3/4$ である。したがって実数解は

$$\boxed{x=0,\quad x=1-\frac1a}.$$

(3) $f(f(x))=x$ が異なる4つの実数解をもつ $a$

恒等式

$$f(y)-f(x)=a(y-x)(1-y-x)$$

に $y=f(x)$ を用いると

$$\begin{aligned} f(f(x))-x &=\{f(f(x))-f(x)\}+\{f(x)-x\}\\ &=\{f(x)-x\}\{1+a(1-f(x)-x)\}. \end{aligned}$$$$f(f(x))-x=\{f(f(x))-f(x)\}+\{f(x)-x\}$$$$=\{f(x)-x\}\{1+a(1-f(x)-x)\}.$$

したがって

$$f(f(x))-x =x(a-1-ax)\{a^2x^2-a(a+1)x+(a+1)\}.$$

第1因子から得る二つの解は $x=0$ と $x=(a-1)/a$ であり、$a>1$ のため異なる。第2因子を $B(x)$ とおくと、その判別式は

$$\begin{aligned} D &=\{a(a+1)\}^2-4a^2(a+1)\\ &=a^2(a+1)(a-3). \end{aligned}$$$$D=\{a(a+1){\}}^2-4a^2(a+1)$$$$=a^2(a+1)(a-3).$$

- $1<a<3$ のとき、$D<0$ なので $B(x)=0$ に実数解はなく、全体の実数解は二つである。
- $a=3$ のとき、$B(x)=9x^2-12x+4=(3x-2)^2$ である。その重解 $x=2/3$ は第1因子からの解 $x=(a-1)/a=2/3$ と一致するため、異なる実数解は $0,2/3$ の二つである。
- $3<a\leqq4$ のとき、$D>0$ なので $B(x)=0$ は異なる二つの実数解
$$x=\frac{a+1\pm\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}$$
をもつ。これらが第1因子の解と重ならないことを確認する。$B(0)=a+1>0$ なので $0$ とは異なる。また $x_*=(a-1)/a$ では $f(x_*)=x_*$ だから
$$B(x_*)=1+a\{1-f(x_*)-x_*\}=1+a(1-2x_*)=3-a\ne0.$$
よってこの二解は $x=0,\ (a-1)/a$ のどちらとも異なる。

以上より異なる4つの実数解をもつ条件は

$$\boxed{3<a\leqq4}.$$