4香川大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $a,b\geqq0$ より，$1+ab$，$1+a$，$1+a(b+1)$ はすべて正である。右辺から左辺を引いて通分すると
$$\frac{b}{1+ab}+\frac{1}{1+a}-\frac{b+1}{1+a(b+1)} =\frac{ab\{2+a(b+1)\}}{(1+ab)(1+a)\{1+a(b+1)\}}\geqq0.$$
よって所要の不等式が成り立つ。分母と $2+a(b+1)$ は正なので，等号成立は $ab=0$，すなわち $a=0$ または $b=0$ のときである。

　 (2) (1)に $a=tx$，$b=x$ を代入する。$t>0$，$0\leqq x\leqq1$ より $a,b\geqq0$ であるから
$$\frac{x+1}{1+tx(x+1)}\leqq\frac{x}{1+tx^2}+\frac{1}{1+tx}.$$
両辺を $0$ から $1$ まで積分すると
$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{x+1}{1+tx(x+1)}\,dx &\leqq\int_0^1\frac{x}{1+tx^2}\,dx+\int_0^1\frac{1}{1+tx}\,dx\\ &=\left[\frac{1}{2t}\log(1+tx^2)\right]_0^1+\left[\frac{1}{t}\log(1+tx)\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2t}\log(1+t)+\frac{1}{t}\log(1+t)\\ &=\frac{3}{2t}\log(1+t). \end{aligned}$$$${\int }_0^1\frac{x+1}{1+tx(x+1)}dx\leqq {\int }_0^1\frac{x}{1+t{x}^2}dx+{\int }_0^1\frac{1}{1+tx}dx$$$$={\left[\frac{1}{2t}\log (1+t{x}^2)\right]}_0^1+{\left[\frac{1}{t}\log (1+tx)\right]}_0^1$$$$=\frac{1}{2t}\log (1+t)+\frac{1}{t}\log (1+t)$$$$=\frac{3}{2t}\log (1+t).$$
したがって所要の不等式が成り立つ。

　 (3) 被積分関数を
$$\frac{tx(x+1)^2}{1+tx(x+1)}=(x+1)-\frac{x+1}{1+tx(x+1)}$$
と変形する。$J(t)=\displaystyle\int_0^1\frac{x+1}{1+tx(x+1)}\,dx$ とおけば
$$\int_0^1\frac{tx(x+1)^2}{1+tx(x+1)}\,dx=\int_0^1(x+1)\,dx-J(t)=\frac32-J(t).$$
(2)と被積分関数の非負性から
$$0\leqq J(t)\leqq\frac{3}{2t}\log(1+t).$$
問題文で許されている $\displaystyle\lim_{u\to\infty}\frac{\log u}{u}=0$ より
$$\frac{\log(1+t)}{t}=\frac{\log(1+t)}{1+t}\cdot\frac{1+t}{t}\longrightarrow0\qquad(t\to\infty).$$
はさみうちの原理で $J(t)\to0$ だから，求める極限は
$$\lim_{t\to\infty}\left(\frac32-J(t)\right)=\frac32.$$