I東北医科薬科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

(1) 接線と曲線の共有点

$f(x)=x^4-4x^3$ とおくと、$f'(x)=4x^3-12x^2$ である。$x=p$ における接線 $y=ax+b$ は

$$a=4p^3-12p^2,\qquad b=f(p)-pa=-3p^4+8p^3$$

となる。したがって

$$f(x)-(ax+b)=(x-p)^2q(x),\qquad q(x)=x^2+(2p-4)x+3p^2-8p.$$

$x=p$ は接点である。ほかの実根があれば、その根が単根なら接線と曲線はそこで交差し接していない。$q$ の実根が重根なら、その根では差が二重根となり接する。よって共有点がすべて接点となるための必要十分条件は、$q$ が実根を持たないか重根を持つこと、すなわち判別式が $0$ 以下であることである。

$$D=(2p-4)^2-4(3p^2-8p)=8(-p^2+2p+2)\leqq 0.$$

$p>0$ を合わせると $p\geqq 1+\sqrt3$。等号時には $q(x)=(x-(1-\sqrt3))^2$ となり、そこでの共有点も接点である。したがって (1-1) は

$$\boxed{p\geqq 1+\sqrt3}.$$

(1-2) 境界値での接線

$p=1+\sqrt3$ のとき $p^2=4+2\sqrt3$ だから

$$a=4p^2(p-3)=4(4+2\sqrt3)(\sqrt3-2)=-8.$$

また $p^3=10+6\sqrt3$ より

$$b=p^3(8-3p)=(10+6\sqrt3)(5-3\sqrt3)=-4.$$

よって

$$\boxed{a=-8,\quad b=-4}.$$

(1-3) 囲まれた部分の面積

等号時の $q$ の重根は $r=1-\sqrt3$ であり、$p-r=2\sqrt3$。したがって曲線と接線の差は

$$f(x)-(ax+b)=(x-p)^2(x-r)^2.$$

囲まれた部分は $r\leqq x\leqq p$ にあり、その面積は、$t=x-r$、$d=p-r=2\sqrt3$ と置いて

$$\begin{aligned} \int_r^p (x-r)^2(p-x)^2\,dx &=\int_0^d t^2(d-t)^2\,dt\\ &=\frac{d^5}{30} =\frac{(2\sqrt3)^5}{30} =\frac{48\sqrt3}{5}. \end{aligned}$$$${\int }_r^p(x-r{)}^2(p-x{)}^{2}dx={\int }_0^d{t}^2(d-t{)}^{2}dt$$$$=\frac{d^5}{30}=\frac{(2\sqrt{3}{)}^5}{30}=\frac{48\sqrt{3}}{5}.$$

(2-1) $p=1$ の場合

接線の係数は $a=4-12=-8$、$b=-3-a=5$。差を因数分解すると

$$(ax+b)-f(x)=-(x-1)^2(x^2-2x-5)\geqq0\qquad(0\leqq x\leqq2),$$

である（$x^2-2x-5=(x-1)^2-6<0$）。よって指定領域の面積は

$$\begin{aligned} S&=\int_0^2\{-x^4+4x^3-8x+5\}\,dx\\ &=\left[-\frac{x^5}{5}+x^4-4x^2+5x\right]_0^2 =\frac{18}{5}. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^2\{-x^4+4x^3-8x+5\}dx$$$$={\left[-\frac{x^5}{5}+x^4-4x^2+5x\right]}_0^2=\frac{18}{5}.$$

したがって

$$\boxed{a=-8,\quad b=5,\quad S=\frac{18}{5}}.$$

(2-2) $p\ne1$ の場合

接線が $(1,-3)$ を通る条件は $a+b=-3$ である。接線の式から

$$a+b=-3p^2(p-2)^2=-3$$

となるので、$p(p-2)=\pm1$。$p>0$ かつ $p\ne1$ より $p=1+\sqrt2$ である。このとき

$$a=4p^2(p-3)=-8-4\sqrt2,\qquad b=-3-a=5+4\sqrt2.$$

差は

$$f(x)-(ax+b)=(x-p)^2(x-1)(x-1+2\sqrt2).$$

$0\leqq x\leqq1$ では右辺は $0$ 以下、$1<x\leqq2$ では $0$ 以上である。したがって不等式 $f(x)\leqq y\leqq ax+b$ を満たすのは $0\leqq x\leqq1$ の部分だけであり、

$$\begin{aligned} S&=\int_0^1\{-x^4+4x^3+(-8-4\sqrt2)x+5+4\sqrt2\}\,dx\\ &=-\frac15+1-4-2\sqrt2+5+4\sqrt2 =\frac95+2\sqrt2. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^1\{-x^4+4x^3+(-8-4\sqrt{2})x+5+4\sqrt{2}\}dx$$$$=-\frac{1}{5}+1-4-2\sqrt{2}+5+4\sqrt{2}=\frac{9}{5}+2\sqrt{2}.$$

最終結果は

$$\boxed{p=1+\sqrt2,\quad S=\frac95+2\sqrt2}.$$