II福岡大学 2022年 数学 第II問解答・解説

(i)(1)

直線$\ell$を$y=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}x-2$と表し、楕円の式に代入すると
$$4x^{2}+\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}}x-2\right)^{2}=4\quad\text{すなわち}\quad\dfrac{16}{3}x^{2}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}x=0.$$
したがって$x=0$または$x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$である。前者は既知の$\mathrm{A}(0,\,-2)$なので、もう一方は$y=-1$となる。ゆえに
$$\mathrm{B}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,-1\right).$$

(i)(2)

楕円上で$u=x$、$v=\dfrac{y}{2}$とおけば$u^{2}+v^{2}=1$である。点$\mathrm{P}(x,\,y)$と直線$\ell$の距離は
$$\dfrac{|2x+\sqrt{3}y+2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}=\dfrac{|2u+2\sqrt{3}v+2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$$
である。$u^{2}+v^{2}=1$より
$$(2u+2\sqrt{3}v)^{2}\leqq\left(2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}\right)(u^{2}+v^{2})=16.$$
したがって$2u+2\sqrt{3}v$の最大値・最小値はそれぞれ$4$、$-4$であり、最大値$4$は等号条件$(u,\,v)=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$でとる。よって、距離の分子の中身は
$$2\sqrt{3}-4\leqq2u+2\sqrt{3}v+2\sqrt{3}\leqq2\sqrt{3}+4$$
の範囲にある。$2\sqrt{3}+4>4-2\sqrt{3}$なので、絶対値の最大値は右端でとり、そのとき$\mathrm{P}(x,\,y)=\left(\dfrac{1}{2},\,\sqrt{3}\right)$である。

(ii)

真数を$U=1-x^{2}+y$とおく。対数の定義域は$y>0$、$y\ne1$、$U>0$である。

まず$y>1$のとき、底$y$の対数関数は増加するので
$$\log_{y}U\geqq2\quad\text{すなわち}\quad U\geqq y^{2}\quad\text{すなわち}\quad x^{2}\leqq1+y-y^{2}.$$
このような実数$x$が存在する条件は$1+y-y^{2}\geqq0$である。正の解の境界は$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$だから、この場合に可能な$y$は$1<y\leqq\varphi$である。実際、この範囲では$x=0$とすれば条件を満たす。

次に$0<y<1$のとき、底$y$の対数関数は減少するので
$$\log_{y}U\geqq2\quad\text{すなわち}\quad 0<U\leqq y^{2}\quad\text{すなわち}\quad 1+y-y^{2}\leqq x^{2}<1+y.$$
この区間はすべての$0<y<1$で空でない（左端は正で、右端との差は$y^{2}>0$）。以上から
$$0<y<1\ \text{または}\ 1<y\leqq\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

最後に$x$の範囲を求める。$y>1$の場合は$x^{2}\leqq1+y-y^{2}<1$なので$|x|<1$である。逆に任意の$x^{2}<1$に対して、$y>1$を十分$1$に近く選べば$1+y-y^{2}\geqq x^{2}$となる。よってこの場合の$x$の範囲は$-1<x<1$である。

$0<y<1$の場合は$1+y-y^{2}>1$、かつ$1+y<2$より、必要条件は$1<x^{2}<2$である。逆に$0<q=x^{2}-1<1$とし、$0<\varepsilon<\min(q,\,1-q)$を選んで$y=1-\varepsilon$とおく。このとき$0<y<1$、$q<y$、$y(1-y)<q$であるから、
$$1+y-y^{2}=1+y(1-y)<1+q=x^{2}<1+y.$$
したがって、この場合に可能な$x$は$1<x^{2}<2$、すなわち$-\sqrt{2}<x<-1$または$1<x<\sqrt{2}$である。両場合を合わせると
$$-\sqrt{2}<x<-1\ \text{または}\ -1<x<1\ \text{または}\ 1<x<\sqrt{2}.$$