1北海道大学 2022年 数学 第1問解答・解説

絶対値の中の符号で場合を分け、$f(0)=ab$、$f(1)=(1-a)(1-b)$ との差を調べる。$a+b\geqq 1$ の場合は、$x$ を $1-x$ に置きかえる対称性で $a+b\leqq 1$ の場合に帰着させる。

$S=a+b$、$P=ab$ とおく。$f(0)=P$、$f(1)=(1-a)(1-b)=1-S+P$ である。

(1)

$x<0$ のとき、$x(x-1)>0$、$(x-a)(x-b)>0$ だから
$$f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b)=2x^{2}-(1+S)x+P.$$
$x>1$ のときも、$x(x-1)>0$、$(x-a)(x-b)>0$ だから同じ式になる。

$x<0$ のとき、$f(x)-f(0)=x\{2x-(1+S)\}$ で、$x<0$、$2x-(1+S)<0$ だから $f(x)-f(0)>0$ である。

$x>1$ のとき、
$$f(x)-f(1)=2(x^{2}-1)-(1+S)(x-1)=(x-1)(2x+1-S)$$
で、$x-1>0$、$2x+1-S>3-S\geqq 1>0$ だから $f(x)-f(1)>0$ である。

よって $x<0$ では $f(x)>f(0)\geqq m$、$x>1$ では $f(x)>f(1)\geqq m$ となる。

(2)

$0\leqq x\leqq 1$ のとき、$x(x-1)\leqq 0$ だから、$q=(x-a)(x-b)=x^{2}-Sx+P$ とおくと
$$f(x)=x(1-x)+|q|.$$

[1] $S\leqq 1$ のとき

$f(1)-f(0)=1-S\geqq 0$ だから $f(0)\leqq f(1)$ である。$f(x)\geqq f(0)$ を示す。

$q\geqq 0$ のとき、$f(x)-P=x-x^{2}+x^{2}-Sx=x(1-S)\geqq 0$。

$q<0$ のとき、$P<Sx-x^{2}$ だから
$$f(x)-P=x(1+S)-2x^{2}-2P>x(1+S)-2x^{2}-2(Sx-x^{2})=x(1-S)\geqq 0.$$
よって $0\leqq x\leqq 1$ で $f(x)\geqq f(0)$ である。

[2] $S\geqq 1$ のとき

$a'=1-b$、$b'=1-a$、$x'=1-x$ とおくと、$0\leqq a'\leqq b'\leqq 1$、$a'+b'=2-S\leqq 1$ である。また
$$x'(x'-1)=x(x-1),\qquad (x'-a')(x'-b')=(x-a)(x-b)$$
だから、$a',\,b'$ に対する関数を $g$ とすると $g(x')=f(x)$ である。[1] を $g$ に使うと $g(x')\geqq g(0)=a'b'=(1-a)(1-b)=f(1)$、すなわち $f(x)\geqq f(1)$ である。

[1]、[2] と (1) から、$f(x)$ の最小値は $f(0)$、$f(1)$ の小さいほうである。よって $m=f(0)$ または $m=f(1)$ である。

(3)

$S\leqq 1$ のとき、(2) より $m=f(0)=ab$ で、
$$ab\leqq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}=\dfrac{S^{2}}{4}\leqq\dfrac{1}{4}.$$
$S\geqq 1$ のとき、$m=f(1)=(1-a)(1-b)$ で、$(1-a)+(1-b)=2-S\leqq 1$ だから、同じように $m\leqq\dfrac{1}{4}$ である。

$a=b=\dfrac{1}{2}$ のとき、$m=f(0)=\dfrac{1}{4}$ となる。

よって、$m$ の最大値は $\dfrac{1}{4}$ である。