3名古屋市立大学 2025年 数学 第3問解答・解説

yを固定したときのxの整数範囲を数え、kの偶奇ごとに等差数列の和として$a_k$を求める。その後、奇数番目と偶数番目を対にして総和を計算する。

自然数 $y$ を固定すると、条件 $x<y$ および $k<x+y$ は
$$k-y+1\leqq x\leqq y-1$$
と同値である。したがって、この範囲にある自然数 $x$ の個数は、範囲が空でなければ
$$(y-1)-(k-y+1)+1=2y-k-1$$
個である。

(1) $k=7$ のとき、正の個数を与える $y$ は $5,6$ で、それぞれ $2,4$ 個である。よって $a_7=2+4=6$。$k=8$ のときは $y=5,6,7$ で、それぞれ $1,3,5$ 個だから、$a_8=1+3+5=9$。

(2) $k=2m-1$（$m\geqq2$）では、$y=m,\cdots,2m-2$ に対する個数は $2(y-m)$ である。したがって
$$a_{2m-1}=\sum_{j=0}^{m-2}2j=(m-1)(m-2).$$
$m=1$ のときは $k=1$ で該当する組がなく、同じ式は $0$ となる。

$k=2m$ では、$y=m+1,\cdots,2m-1$ に対する個数は $2(y-m)-1$ であるから
$$a_{2m}=\sum_{j=1}^{m-1}(2j-1)=(m-1)^2.$$
$m=1$ の場合も範囲は空で、式は $0$ を与える。

(3) 奇数番目と偶数番目を組にして足すと
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &=\sum_{m=1}^{n}\bigl(a_{2m-1}+a_{2m}\bigr)\\ &=\sum_{m=1}^{n}\bigl((m-1)(m-2)+(m-1)^2\bigr)\\ &=\sum_{m=1}^{n}(2m^2-5m+3)\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-\frac{5n(n+1)}{2}+3n\\ &=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6}. \end{aligned}$$$$\sum _{k=1}^{2n}{a}_k=\sum _{m=1}^n(a_{2m-1}+a_{2m})$$$$=\sum _{m=1}^n((m-1)(m-2)+(m-1{)}^2)$$$$=\sum _{m=1}^n(2m^2-5m+3)$$$$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-\frac{5n(n+1)}{2}+3n$$$$=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6}.$$
検算として $m=4$ を代入すると $a_7=6,\ a_8=9$ となり、また $n=1,2$ では総和はそれぞれ $0,1$ で、得られた式と一致する。