3岐阜大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)
正六角形では対角線 $\mathrm{AD}$ が辺 $\mathrm{BC}$ に平行で、長さは $\mathrm{BC}$ の 2 倍であるから、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ である。一方、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ なので、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{a}+\vec{c}$ である。
正六角形の向かい合う辺は平行で長さが等しく、向きが反対なので、$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\vec{a}+\vec{c}$$
となる。

(2)
辺 $\mathrm{FA}$ と辺 $\mathrm{CD}$ は向かい合う辺なので、$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-\vec{c}$ である。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\vec{c}+\vec{a}+(\vec{a}+\vec{c})=2\vec{a}$$
である。点 Q は辺 CD を $t:(1-t)$ に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}=t\vec{c}$ である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{FQ}}=\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2\vec{a}+t\vec{c}$$
となる。

(3)
点 A を原点とし、$\vec{a}$、$\vec{c}$ を基準にして位置を表す。$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=-\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\vec{c}$ である。また $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\vec{a}+2\vec{c}$、$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\vec{a}$ より $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{a}+2\vec{c}$ である。
点 I は直線 FQ 上にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{FI}}=k\overrightarrow{\mathrm{FQ}}$ より
$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+k\overrightarrow{\mathrm{FQ}}=\vec{c}+k(2\vec{a}+t\vec{c})=2k\vec{a}+(1+kt)\vec{c}$$
である。また点 I は直線 EP 上にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(s-1)\vec{a}-2\vec{c}$ より
$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+m\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\{1+(s-1)m\}\vec{a}+(2-2m)\vec{c}$$
である。$\vec{a}$、$\vec{c}$ は一次独立なので、係数を比べて
$$2k=1+(s-1)m,\qquad 1+kt=2-2m$$
を得る。これを解くと
$$k=\dfrac{1+s}{4-t+st},\qquad m=\dfrac{2-t}{4-t+st}$$
となる。（$0<s<1$、$0<t<1$ より $4-t+st>3>0$ なので分母は 0 にならない。）なお、$s+t=1$ のときは $k=m=\dfrac{1}{3-s}$ となる。

(4)
$\vec{a}$、$\vec{c}$ の作る平行四辺形の面積を $T$ とする。$\overrightarrow{p}=p_{1}\vec{a}+p_{2}\vec{c}$、$\overrightarrow{q}=q_{1}\vec{a}+q_{2}\vec{c}$ の作る三角形の面積は $\dfrac{1}{2}\left|p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}\right|T$ である。
$\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\vec{a}+\vec{c}$、$\overrightarrow{\mathrm{FI}}=k(2\vec{a}+t\vec{c})$ より
$$S=\dfrac{1}{2}\left|1\cdot kt-1\cdot 2k\right|T=\dfrac{1}{2}k(2-t)T$$
である。
次に、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(2-s)\vec{a}+(1+t)\vec{c}$ である。$I$ は線分 EP 上にあり、$\overrightarrow{\mathrm{PI}}=(1-m)\overrightarrow{\mathrm{PE}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PE}}=(1-s)\vec{a}+2\vec{c}$ なので、
$$S'=\dfrac{1}{2}(1-m)\left|2(2-s)-(1+t)(1-s)\right|T$$
である。
$s+t=1$ とすると、$1+t=2-s$、$2-t=1+s$、$k=\dfrac{1}{3-s}$、$1-m=\dfrac{2-s}{3-s}$ である。よって
$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+s}{3-s}T$$
$$S'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2-s}{3-s}\cdot(2-s)(1+s)T=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2-s)^{2}(1+s)}{3-s}T$$
となり、
$$\dfrac{S}{S'}=\dfrac{1}{(2-s)^{2}}$$
である。
最後に範囲を求める。$0<s<1$ より $1<2-s<2$ なので $1<(2-s)^{2}<4$。したがって
$$\dfrac{1}{4}<\dfrac{S}{S'}<1$$
である。