2岐阜大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geqq 0$ を展開すると $x-2\sqrt{xy}+y\geqq 0$ である。よって $2\sqrt{xy}\leqq x+y$、両辺を 2 で割って
$$\sqrt{xy}\leqq\dfrac{x+y}{2}$$
を得る。等号は $\sqrt{x}=\sqrt{y}$、すなわち $x=y$ のときに限り成り立つ。

(2)
$x>0$、$y>0$ より $\sqrt{xy}>0$、$\dfrac{x+y}{2}>0$ である。常用対数の底 10 は 1 より大きいので、正の数 $A$、$B$ について $A\leqq B$ ならば $\log_{10}A\leqq\log_{10}B$ が成り立つ。(1) の不等式に適用して
$$\log_{10}\sqrt{xy}\leqq\log_{10}\dfrac{x+y}{2}$$
となる。ここで $\log_{10}\sqrt{xy}=\dfrac{1}{2}\left(\log_{10}x+\log_{10}y\right)$ であるから、
$$\dfrac{1}{2}\left(\log_{10}x+\log_{10}y\right)\leqq\log_{10}\dfrac{x+y}{2}$$
が成り立つ。

(3)
$k$ は $k\leqq n$ を満たす自然数なので、$1\leqq k\leqq n$ である。$x=k$、$y=n+1-k$ とおくと、$n+1-k\geqq 1$ より $x$、$y$ はともに正の実数である。このとき $x+y=n+1$ より $\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{n+1}{2}$ であるから、(2) の不等式は
$$\dfrac{1}{2}\left(\log_{10}k+\log_{10}(n+1-k)\right)\leqq\log_{10}\dfrac{n+1}{2}$$
となる。

(4)
(3) の不等式を $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ について辺々加える。右辺は $n$ 個の同じ値 $\log_{10}\dfrac{n+1}{2}$ の和であるから $n\log_{10}\dfrac{n+1}{2}$ である。左辺は
$$\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\log_{10}k+\log_{10}(n+1-k)\right)$$
である。$n+1-k$ は $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ のとき $n,\,n-1,\,\cdots,\,1$ をそれぞれ 1 回ずつとるので、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log_{10}(n+1-k)=\sum_{k=1}^{n}\log_{10}k=\log_{10}(n!)$$
である。よって左辺は $\dfrac{1}{2}\cdot 2\log_{10}(n!)=\log_{10}(n!)$ となり、
$$\log_{10}(n!)\leqq n\log_{10}\dfrac{n+1}{2}$$
が成り立つ。

(5)
$2025=3^{4}\cdot 5^{2}$ であり、$\log_{10}5=1-\log_{10}2$ より
$$\log_{10}\dfrac{2025}{2}=4\log_{10}3+2\log_{10}5-\log_{10}2=4\log_{10}3+2-3\log_{10}2$$
となる。$\log_{10}3<0.478$、$\log_{10}2>0.301$ を用いると
$$\log_{10}\dfrac{2025}{2}<4\times 0.478+2-3\times 0.301=3.009$$
である。(4) に $n=2024$ を代入すると $n+1=2025$ なので、
$$\log_{10}(2024!)\leqq 2024\log_{10}\dfrac{2025}{2}<2024\times 3.009=6090.216<6100$$
となる。$2024!$ の桁数を $d$ とすると $10^{d-1}\leqq 2024!<10^{6100}$ であるから、$d-1<6100$。よって $d\leqq 6100$ であり、$2024!$ の桁数は 6100 以下である。