5岐阜大学 2024年 数学 第5問解答・解説

数列 $\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ が、
$$\begin{aligned}&a_{1}=1, && a_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a_{n}-\dfrac{1}{4}b_{n} \quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\\ &b_{1}=1, && b_{n+1}=\dfrac{1}{4}a_{n}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}b_{n} \quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\end{aligned}$$$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}_n-\frac{1}{4}{b}_n(n=1,2,3,\cdots )$$$$b_1=1,b_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_n+\frac{\sqrt{3}}{4}{b}_n(n=1,2,3,\cdots )$$
を満たすとする。複素数 $z_{n}$ を $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定める。以下の問に答えよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

(1) 複素数 $z_{1}$ の絶対値 $|z_{1}|$ と偏角 $\theta_{1}$ $(0\leqq\theta_{1}<2\pi)$ を、それぞれ求めよ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して $z_{n+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta)z_{n}$ となるような正の実数 $r$ と $\theta$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ の値を、それぞれ求めよ。

(3) $a_{n}$ と $b_{n}$ を $n$ を用いてそれぞれ表せ。

(4) $a_{n}=b_{n}$ となる自然数 $n$ を小さいほうから順に $m(1)$、$m(2)$、$m(3)$、$\cdots$ とする。$a_{m(k)}$ を $k$ を用いて表せ。