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岐阜大学／2023年度

5岐阜大学 2023年 数学 第5問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面三角関数

1問題

岐阜大学2023年度第5問
Oを原点とする複素数平面上で、OA=3\mathrm{OA}=\sqrt{3} となる点Aをとる。点AをOを中心として π3\dfrac{\pi}{3} だけ回転した点をBとする。このとき、正三角形となる △OAB\triangle\mathrm{OAB} の頂点A、Bを表す複素数をそれぞれ α\alpha、β\beta とする。また、辺ABの中点をM、△OAB\triangle\mathrm{OAB} の重心をGとする。以下の問に答えよ。

(1) 点Mと点Gを表す複素数を、それぞれ α\alpha、β\beta を用いて表せ。

(2) β\beta を α\alpha を用いて表せ。

(3) 点Gを表す複素数の実部が正、虚部が −33-\dfrac{\sqrt{3}}{3} であるとき、α+β\alpha+\beta の虚部を求めよ。さらに、α+β\alpha+\beta の実部を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

中点と重心の位置を表す複素数は、それぞれ
zM=α+β2,zG=α+β3z_{\mathrm{M}}=\dfrac{\alpha+\beta}{2},\qquad z_{\mathrm{G}}=\dfrac{\alpha+\beta}{3}
である。

(2)

原点の周りの角π3\dfrac{\pi}{3}の回転は
β=(cos⁡π3+isin⁡π3)α=(12+32i)α\beta=\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\alpha=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha
である。

(3)

重心の虚部から、α+β\alpha+\betaの虚部は−3-\sqrt{3}である。
また、2本のベクトルα\alpha、β\betaのなす角がπ3\dfrac{\pi}{3}なので、
∣α+β∣2=3+3+2⋅3cos⁡π3=9|\alpha+\beta|^{2}=3+3+2\cdot3\cos\dfrac{\pi}{3}=9
である。G\mathrm{G}の実部は正だから、α+β\alpha+\betaの実部も正であり、9−3=6\sqrt{9-3}=\sqrt{6}となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 複素数平面
  • 複素数の極形式
  • 複素数の四則演算
  • 一般角と弧度法

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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