2岐阜大学 2023年 数学 第2問解答・解説

数列 $\{a_{n}\}$ を $a_{1}=1$、$a_{n+1}=(\sqrt{2}-1)a_{n}+2$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ によって定める。このとき、$a_{n}$ は整数 $p_{n}$、$q_{n}$ を用いて $a_{n}=p_{n}+\sqrt{2}\,q_{n}$ と表せる。以下の問に答えよ。

(1) $p_{1}$、$p_{2}$、$q_{1}$、$q_{2}$ を求めよ。

(2) $p_{n+1}$、$q_{n+1}$ を $p_{n}$ と $q_{n}$ を用いてそれぞれ表せ。

(3) $b_{n}=a_{n}-(2+\sqrt{2})$ とする。$b_{n+1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ。また、$b_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $c_{n}=p_{n}-\sqrt{2}\,q_{n}$ とする。$c_{n+1}$ を $c_{n}$ を用いて表せ。

(5) $p_{n}$、$q_{n}$ を $n$ を用いてそれぞれ表せ。