4福島県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 定義域は$x\leqq 2$。$x<2$で$f'(x)=\dfrac{1-3x}{2\sqrt{2-x}}$、$f''(x)=\dfrac{3x-11}{4(2-x)^{3/2}}$。分母は正で$3x-11<0$だから、$x<\dfrac{1}{3}$で$f'>0$、$\dfrac{1}{3}<x<2$で$f'<0$。$x=\dfrac{1}{3}$で極大値$f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{10\sqrt{15}}{9}$。端点$x=2$は定義域内から見て片側極小値0だが、$x\to-\infty$で$f(x)\to-\infty$のため全体の最小値はない。$f''<0$は全域内部で成り立つのでグラフは上に凸、変曲点なし。零点$(-3,\,0),\,(2,\,0)$、$y$切片$(0,\,3\sqrt{2})$、極大点$\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{10\sqrt{15}}{9}\right)$、端点 $x=2$ では左から傾きが $-\infty$ になる。これらの点と傾きから、グラフの概形が定まる。

(2) $-3\leqq x\leqq 2$では$f(x)\geqq 0$。$u=2-x$と置くと$S=\displaystyle\int_{0}^{5}(5-u)\sqrt{u}\,du=\left[\dfrac{10}{3}u^{3/2}-\dfrac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{5}=\dfrac{20\sqrt{5}}{3}$。

(3) $f(x)$と$f(-x)$の共通定義域は$-2\leqq x\leqq 2$で、この区間では両辺は非負だから平方は同値。$(x+3)^{2}(2-x)=(3-x)^{2}(2+x)$を整理すると$-2x(x^{2}-3)=0$。3解とも共通定義域にあるため$x=-\sqrt{3},\,0,\,\sqrt{3}$。

(4) 回転体を半径$r$の円筒殻に分ける。$0<r\leqq 2$では左右の$x=\pm r$からの殻が同じ半径に重なり、どちらも$y=0$から始まるので高さは$f(r)$、$f(-r)$の大きい方となる。$f(-r)^{2}-f(r)^{2}=2r(r^{2}-3)$より、$0<r<\sqrt{3}$では$f(r)$が大きく、$\sqrt{3}<r\leqq 2$では$f(-r)$が大きい。$2<r\leqq 3$は左側だけなので$V=2\pi\left\{\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}r(r+3)\sqrt{2-r}\,dr+\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^{3}r(3-r)\sqrt{2+r}\,dr\right\}$。各積分を$u=2-r$、$u=2+r$で置換し、$F(u)=\dfrac{20}{3}u^{3/2}-\dfrac{14}{5}u^{5/2}+\dfrac{2}{7}u^{7/2}$とすると和は$F(2)-F(2-\sqrt{3})+F(2+\sqrt{3})-F(5)$。$F(2)=\dfrac{464\sqrt{2}}{105}$、$F(5)=-\dfrac{20\sqrt{5}}{21}$、$\sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$を使うと$F(2+\sqrt{3})-F(2-\sqrt{3})=\dfrac{44\sqrt{2}}{105}$。よって殻積分の和は$\dfrac{508\sqrt{2}+100\sqrt{5}}{105}$、体積は$\dfrac{8\pi(127\sqrt{2}+25\sqrt{5})}{105}$。