3福島県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

余弦定理と三角比で角度を求め、内分点の位置ベクトルと内積による垂線条件から垂足を表す。底辺と高さで面積和を二次式にし、平方完成して最小値を決定する。

(1) 余弦定理より
$$\cos\theta=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\,OA\,OB}=\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6\cdot5}=\frac34.$$
$0<\theta<\pi$ であるから、$\sin\theta>0$ であり、
$$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt7}{4}.$$

(2) $AP:PB=t:(1-t)$ より $AP/AB=t$ なので、内分点 $P$ の位置ベクトルは
$$\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec a+t\vec b$$
である。また、$\vec a\cdot\vec a=36$、$\vec b\cdot\vec b=25$、$\vec a\cdot\vec b=6\cdot5\cos\theta=\frac{45}{2}$ である。
$\overrightarrow{OQ}=u\vec a$ とおくと、$PQ\perp OA$ より
$$0=(\overrightarrow{OP}-u\vec a)\cdot\vec a=36(1-t)+\frac{45}{2}t-36u,$$
したがって $u=1-\frac{3t}{8}$ である。よって
$$\overrightarrow{OQ}=\left(1-\frac{3t}{8}\right)\vec a.$$
同様に $\overrightarrow{OR}=v\vec b$ とおくと、$PR\perp OB$ より
$$0=(\overrightarrow{OP}-v\vec b)\cdot\vec b=\frac{45}{2}(1-t)+25t-25v,$$
したがって $v=\frac{9+t}{10}$ であり、
$$\overrightarrow{OR}=\frac{9+t}{10}\vec b.$$

(3) $0<t<1$ のとき $0<1-\frac{3t}{8}<1$、$0<\frac{9+t}{10}<1$ なので、$Q$ は線分 $OA$ 上、$R$ は線分 $OB$ 上にある。したがって
$$AQ=6-6\left(1-\frac{3t}{8}\right)=\frac{9t}{4},\qquad BR=5-5\frac{9+t}{10}=\frac{1-t}{2}.$$
$A$ は直線 $OA$ 上にあり、$P$ は $AB$ を $t:(1-t)$ に内分するから、$P$ から直線 $OA$ までの距離は $t$ 倍になる。同様に、$P$ から直線 $OB$ までの距離は $(1-t)$ 倍になる。よって
$$PQ=t\cdot OB\sin\theta=\frac{5\sqrt7}{4}t,\qquad PR=(1-t)\cdot OA\sin\theta=\frac{3\sqrt7}{2}(1-t).$$
各三角形はそれぞれ $Q,R$ を直角とするので、
$$[\triangle APQ]=\frac12 AQ\cdot PQ=\frac{45\sqrt7}{32}t^2, \qquad [\triangle BPR]=\frac12 BR\cdot PR=\frac{3\sqrt7}{8}(1-t)^2.$$
したがって
$$S(t)=\frac{\sqrt7}{32}\{45t^2+12(1-t)^2\} =\frac{\sqrt7}{32}(57t^2-24t+12) =\frac{\sqrt7}{32}\left\{57\left(t-\frac4{19}\right)^2+\frac{3420}{361}\right\}.$$
頂点の位置 $t=\frac4{19}$ は条件 $0<t<1$ を満たすため、ここで最小値をとる。その値は
$$S\left(\frac4{19}\right)=\frac{\sqrt7}{32}\cdot\frac{3420}{361}=\frac{45\sqrt7}{152}.$$