1愛媛大学 2025年 数学 第1問解答・解説

以下の問いに答えよ。

(1) $\{a_{n}\}$ を等差数列、$\{b_{n}\}$ を等比数列とし、数列 $\{c_{n}\}$、$\{d_{n}\}$ を
$$c_{n}=a_{n}+b_{n},\qquad d_{n}=a_{n}-b_{n}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$
で定める。$c_{1}=2,\ c_{2}=-\dfrac{1}{2},\ d_{1}=0,\ d_{2}=\dfrac{7}{2}$ のとき、$\{c_{n}\}$、$\{d_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(2) 半径 2 の円に四角形 $\mathrm{ABCD}$ が内接している。$\mathrm{AB}=1$、$\mathrm{AC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ のとき、次を求めよ。

(i) $\sin\angle\mathrm{ACB}$ の値

(ii) 辺 $\mathrm{BC}$ の長さ

(3) 赤球 4 個、青球 3 個、緑球 2 個、白球 1 個が入っている袋から、同時に 2 個の球を取り出すとき、次の確率を求めよ。

(i) 取り出した 2 個の球が同じ色である確率

(ii) 取り出した 2 個の球のうち、少なくとも 1 個が赤球または青球である確率

(4) $\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq2$ のとき、関数 $y=(\log_{2}4x)\left(\log_{2}\dfrac{x}{8}\right)$ の最小値と最大値を求めよ。

(5) (i) 整式 $2x^{2}+3x-3$ を $x-1$ で割った商と余りを求めよ。

(ii) 整式 $(2x^{2}+3x-3)^{2}$ を $(x-1)^{2}$ で割った余りを $R(x)$ としたとき、$R(0)$ の値を求めよ。