2愛媛大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) は $a\equiv\pm1\pmod{3}$ のとき $a^{2}\equiv1$。(2)(ii) は (i) の式で $\dfrac{\sin x+\sin y}{2}=\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ とし、$0\leqq\cos\dfrac{y-x}{2}<1$ を使う。(3) は $P(x)$ を $x-1$ で割った 2 次式の判別式が負になる条件を求める。

(1)

$a$ は 3 の倍数でないから $a\equiv1$ または $a\equiv2\pmod{3}$ で、どちらでも $a^{2}\equiv1$、よって $a^{2}+1\equiv2\pmod{3}$。$a^{3}+a=a(a^{2}+1)$ は、3 で割り切れない 2 つの整数の積で、3 は素数だから 3 の倍数でない。

(2)

(i)

2 つの加法定理を足すと $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$。ここで $\alpha=\dfrac{x+y}{2}$、$\beta=\dfrac{x-y}{2}$ とおくと $\alpha+\beta=x$、$\alpha-\beta=y$ だから
$$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}.$$

(ii)

(i) より $\dfrac{\sin x+\sin y}{2}=\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{y-x}{2}$。$0<\dfrac{x+y}{2}<\pi$ より $\sin\dfrac{x+y}{2}>0$、$0<\dfrac{y-x}{2}\leqq\dfrac{\pi}{2}$ より $0\leqq\cos\dfrac{y-x}{2}<1$。よって
$$\sin\dfrac{x+y}{2}>\dfrac{\sin x+\sin y}{2}.$$

(3)

(i)

$P(1)=1+2(a-2)+(3-b^{2})+b^{2}-2a=0$ だから、$x=1$ は $P(x)=0$ の解である。

(ii)

$P(x)$ を $x-1$ で割ると
$$P(x)=(x-1)\{x^{2}+(2a-3)x+2a-b^{2}\}.$$
$P(x)=0$ が異なる 2 つの虚数解をもつ条件は、2 次方程式 $x^{2}+(2a-3)x+2a-b^{2}=0$ の判別式が負であることで
$$(2a-3)^{2}-4(2a-b^{2})<0\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}-5a+b^{2}+\dfrac{9}{4}<0\quad\Longleftrightarrow\quad\left(a-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+b^{2}<4.$$
これが求める必要十分条件で、表す領域は $ab$ 平面上の中心 $\left(\dfrac{5}{2},\,0\right)$、半径 2 の円の内部である（境界を含まない）。