I横浜市立大学 2022年 数学 第I問解答・解説

以下の各問いに答えなさい。
(1) 自然数の集合 $A=\left\{n^{5}+1\mid n=1,2,\cdots,1000\right\}$ を考えるときに、この集合 $A$ の要素であり、かつ $3$ の倍数となるものの個数を求めなさい。
(2) 複素数 $\alpha$ を $\alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくとき、$\alpha^{18}+\alpha^{6}+\alpha^{4}+\alpha^{2}$ の値を求めなさい。
(3) 円 $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ の中心を $C$ とおき、この円と直線 $y=x+2$ の2つの交点を $A,B$ とおくとき、三角形 $ABC$ の面積を求めなさい。
(4) 何人かで次のゲームを行うことにしました。53枚のカードのうち、1枚だけ「あたり」と書かれたカードを用意します。このカードをよく混ぜて、1つの山に重ねて置きます。次に、参加者各自が1～6の目が出る公平なサイコロを1回だけ投げ、カードを見ないようにして出た目の数だけ山の上から順にとっていきます。なお、一度とったカードは再度山にはもどさないこととします。このとき、手にしたカードの中に「あたり」のカードが入っていたら、そのカードをとった参加者を勝者と決定してゲームは終了します。また、いずれの参加者も「あたり」のカードをとることができなければ、このゲームは引き分けて終了するものとします。参加者が6人のとき、このゲームが引き分けで終了する確率を求めなさい。