3愛媛大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$n$ を自然数とし、$p$ を正の実数とする。放物線
$$C:y=-x^{2}+4$$
上に点 $\mathrm{P}(p,\,-p^{2}+4)$、$\mathrm{Q}(-p,\,-p^{2}+4)$ がある。$C$ 上の点 $\mathrm{P}$ における接線を $\ell_{1}$ とし、点 $\mathrm{P}$ と点 $(0,\,-n)$ を通る直線を $\ell_{2}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\ell_{1}$ の傾きを $p$ を用いて表せ。

(2) $\ell_{2}$ の傾きを $p,\,n$ を用いて表せ。

(3) $\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ が垂直であるとき、$p$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ が垂直であるとき、直線 $\mathrm{PQ}$ と $C$ で囲まれる部分の面積 $S_{n}$ を求めよ。

(5) (4) で求めた $S_{n}$ について、$S_{n}\geqq288$ となる $n$ の最小値を求めよ。