2愛媛大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) は ${}_{2k+1}\mathrm{C}_{3}+(2k+1)^{2}$ を因数分解して ${}_{2k+3}\mathrm{C}_{3}$ になることを示す。(2) は半角の公式で $\cos\theta$ を $\sin\dfrac{\theta}{2}$ で表す。(3) は絶対値の中の符号で区間を 3 つに分ける。

(1)

$n=1$ のとき、左辺は $1$、右辺は ${}_{3}\mathrm{C}_{3}=1$ で成り立つ。

$n=k$ のとき成り立つと仮定すると
$$\sum_{j=1}^{k+1}(2j-1)^{2}={}_{2k+1}\mathrm{C}_{3}+(2k+1)^{2}=(2k+1)\left\{\dfrac{2k(2k-1)}{6}+2k+1\right\}=\dfrac{(2k+1)(4k^{2}+10k+6)}{6}.$$
$4k^{2}+10k+6=(2k+2)(2k+3)$ だから、これは $\dfrac{(2k+3)(2k+2)(2k+1)}{6}={}_{2k+3}\mathrm{C}_{3}$ で、$n=k+1$ のときも成り立つ。

よって、すべての自然数 $n$ について成り立つ。

(2)

$\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta<\pi$ より $\cos\theta>-1$ で、分子 $\cos\theta+1>0$。分母 $\sin\dfrac{\theta}{2}+1>0$ だから、左側の不等式が成り立つ。

$s=\sin\dfrac{\theta}{2}$ とおくと、$\dfrac{\pi}{6}\leqq\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{1}{2}\leqq s<1$、また $\cos\theta=1-2s^{2}$ である。分母が正なので、右側の不等式は $\cos\theta\leqq s$ と同じで
$$s-\cos\theta=2s^{2}+s-1=(2s-1)(s+1)\geqq0$$
（$2s-1\geqq0,\ s+1>0$）。よって右側の不等式も成り立つ。

(3)

$$y=\begin{cases}x+3 & (-4\leqq x\leqq-1)\\ -3x-1 & (-1\leqq x\leqq1)\\ -x-3 & (1\leqq x\leqq2)\end{cases}$$
$y$ は $x=-1$ まで増加し、その後は減少する。$y(-4)=-1$、$y(-1)=2$、$y(2)=-5$ だから、最大値 $2$（$x=-1$）、最小値 $-5$（$x=2$）。