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愛媛大学／2022年度／前期

1愛媛大学 2022年 数学 第1問解答・解説

図形と方程式いろいろな式数学と人間の活動（整数）場合の数と確率数列

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象教育・工・農医学科は解かない

1問題

愛媛大学2022年度第1問
以下の問いに答えよ。

(1) tt を実数とする。原点を中心とする半径 1 の円と、2 点 A(−1, 0)\mathrm{A}(-1,\,0)、B(0, t)\mathrm{B}(0,\,t) を通る直線との 2 つの交点のうち、A\mathrm{A} でない交点を C\mathrm{C} とする。C\mathrm{C} の座標を tt を用いて表せ。

(2) 2 次方程式 x2−3x+4=0x^{2}-3x+4=0 の 2 つの解を α, β\alpha,\,\beta とするとき、α3+β3\alpha^{3}+\beta^{3} の値を求めよ。

(3) m2−mn−2n2=22m^{2}-mn-2n^{2}=22 を満たす自然数の組 (m, n)(m,\,n) をすべて求めよ。

(4) 赤玉 4 個、白玉 3 個、黒玉 2 個が入っている袋から、3 個の玉を同時に取り出すとき、取り出した玉の色がすべて異なる確率を求めよ。

(5) 次の和を求めよ。
∑n=1981n+2+n \sum_{n=1}^{98}\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}

出典：愛媛大学 2022年度 前期 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    C(1−t21+t2, 2t1+t2)\mathrm{C}\left(\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\,\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right)
  • (2)
    −9-9
  • (3)
    (m, n)=(8, 3), (15, 7)(m,\,n)=(8,\,3),\ (15,\,7)
  • (4)
    27\dfrac{2}{7}
  • (5)
    9+311−22\dfrac{9+3\sqrt{11}-\sqrt{2}}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は直線 y=t(x+1)y=t(x+1) を円の式に代入すると、x=−1x=-1 を解にもつので x+1x+1 でくくれる。(2) は解と係数の関係。(3) は左辺を (m−2n)(m+n)(m-2n)(m+n) と因数分解する。(5) は分母を有理化すると、隣り合わない項どうしが打ち消し合う。

解答

(1)

直線 AB\mathrm{AB} は y=t(x+1)y=t(x+1)。x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 に代入して
x2−1+t2(x+1)2=0⟺(x+1){(1+t2)x−(1−t2)}=0. x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+1)\{(1+t^{2})x-(1-t^{2})\}=0.
C\mathrm{C} は x=−1x=-1 でない解だから x=1−t21+t2x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}、y=t(x+1)=2t1+t2y=t(x+1)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}。よって C(1−t21+t2, 2t1+t2)\mathrm{C}\left(\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\,\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right)。

(2)

α+β=3\alpha+\beta=3、αβ=4\alpha\beta=4 より
α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=27−36=−9. \alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=27-36=-9.

(3)

(m−2n)(m+n)=22(m-2n)(m+n)=22。m+n≧2m+n\geqq2 は正だから m−2nm-2n も正で、m+n>m−2nm+n>m-2n である。よって
(m−2n, m+n)=(1, 22), (2, 11). (m-2n,\ m+n)=(1,\ 22),\ (2,\ 11).
前者から n=7, m=15n=7,\ m=15、後者から n=3, m=8n=3,\ m=8。よって (m, n)=(8, 3), (15, 7)(m,\,n)=(8,\,3),\ (15,\,7)。

(4)

取り出し方は 9C3=84{}_{9}\mathrm{C}_{3}=84 通り、色がすべて異なるのは 4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24 通りだから、確率は 2484=27\dfrac{24}{84}=\dfrac{2}{7}。

(5)

1n+2+n=n+2−n2\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{2} だから
∑n=1981n+2+n=12(100+99−1−2)=9+311−22. \sum_{n=1}^{98}\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}-\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)=\dfrac{9+3\sqrt{11}-\sqrt{2}}{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 解と係数の関係
  • 因数分解による整数解
  • 分母の有理化
  • 和の打ち消し

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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