1岩手医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

等比数列の一般項・有限和の公式で比を整理し、指数を3の倍数と余りに分けて整数となる項を判定する。

(1)

公比は全項が正であることから $r>0$、また条件より $r\ne1$ である。一般項は $a_k=ar^{k-1}$ だから、
$$S_n=a\dfrac{r^n-1}{r-1},\qquad T_n=\dfrac1a\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}r^{-j} =\dfrac1a\dfrac{r^n-1}{r^{n-1}(r-1)}.$$
よって $\dfrac{S_n}{T_n}=a^2r^{n-1}$ であり、問1は $\mathrm{ア}=2,\ \mathrm{イ}=1$。

(2)

問1の結果と $\dfrac{S_9}{T_9}=36$ より $a^2r^8=36$。したがって $a_5^2=(ar^4)^2=36$。$a_5>0$ なので $a_5=6$、すなわち $\mathrm{ウ}=6$。また、
$$a_1a_2\cdots a_9=a^9r^{0+1+\cdots+8}=a^9r^{36} =(a^2r^8)^4(ar^4)=36^4\cdot6=6^9=2^9\cdot3^9.$$
よって $\mathrm{エ}=2,\ \mathrm{オ}=9,\ \mathrm{カ}=3,\ \mathrm{キ}=9$。

(3)

$x=r^3$ とおく。$r>0,\ r\ne1$ より $x>0,\ x\ne1$ であり、
$$\dfrac{13}{4}=\dfrac{S_9}{S_6} =\dfrac{r^9-1}{r^6-1} =\dfrac{x^3-1}{x^2-1} =\dfrac{x^2+x+1}{x+1}.$$
よって $4x^2-9x-9=0=(4x+3)(x-3)$。$x>0$ だから $x=3$、したがって $r=3^{1/3}$。指定に従って底をできるだけ小さくすると $r=3^{\dfrac13}$ であり、$\mathrm{ク}=3,\ \mathrm{ケ}=1,\ \mathrm{コ}=3$。実際、$\dfrac{27-1}{9-1}=\dfrac{26}{8}=\dfrac{13}{4}$ となり条件に合う。

(4)

$a_n=a_5r^{n-5}=6r^{n-5}$。指数を $n-5=3q+s$（$q\text{ は整数},\ s=0,1,2$）と表せば $a_n=6\cdot3^q r^s$。$1\leqq n\leqq20$ の範囲では $s=0$ のときに限り整数となり、これは $n\equiv2\pmod3$ の場合である。$s=1,2$ では $r=\sqrt[3]{3}$ および $r^2=\sqrt[3]{9}$ が無理数であり、有理数 $6\cdot3^q$ との積も無理数だからである。したがって該当する添字は $n=2,5,8,11,14,17,20$。その項は $2,6,18,54,162,486,1458$ なので、
$$2+6+18+54+162+486+1458 =2(1+3+3^2+\cdots+3^6) =2\dfrac{3^7-1}{3-1} =2186.$$
よって $\mathrm{サシスセ}=2186$。