4獨協医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 分母は $2-\sqrt3\cos x\geqq2-\sqrt3>0$ である。商の微分より
$$f^{\prime}(x)=\frac{2\sqrt3\cos x-3}{(2-\sqrt3\cos x)^2}.$$
従って臨界点は $\cos x=\sqrt3/2$、すなわち $x=\pi/6,11\pi/6$ である。導関数は $0<x<\pi/6$ の範囲 と $11\pi/6<x<2\pi$ の範囲で正、その間で負だから、$x=\pi/6$ で極大、$x=11\pi/6$ で極小となる。値を代入すると
$$f(\pi/6)=\sqrt3,\qquad f(11\pi/6)=-\sqrt3.$$

(2) $D(x)=2-\sqrt3\cos x$ とおくと、$0\leqq x\leqq\pi$ で $D(x)>0$ である。従って $g(x)=2\log D(x)-kx$ であり、
$$g^{\prime}(x)=\frac{2\sqrt3\sin x}{2-\sqrt3\cos x}-k=2f(x)-k.$$
$0<x<\pi$ では $f(x)>0$。また (1) の導関数の符号から、$f$ は $0<x<\pi/6$ の範囲で増加し、$\pi/6<x<\pi$ の範囲で減少する。端点極限は $f(0)=f(\pi)=0$、最大値は $\sqrt3$ である。従って、$0<k<2\sqrt3$ のときに限り方程式 $2f(x)=k$ は2解をもち、左側の解で $g^{\prime}$ は負から正、右側の解で正から負に変わる。よって極大値は右側の解でちょうど1つである。$k\leqq0$ では導関数は正、$k>2\sqrt3$ では負であり、$k=2\sqrt3$ でも一点で0となるだけで符号は変わらない。したがって
$$0<k<2\sqrt3.$$

(ii) $\pi/6<x(k)<\pi$ を満たす $x(k)$ を $2f(x(k))=k$ の解とする。この範囲で $f$ は、$x_1<x_2$ ならば $f(x_1)>f(x_2)$ を満たすので、$x(k)$ は連続に変わる。$M(k)=g(x(k))$ とすると、停留条件を使って
$$M^{\prime}(k)=g_x(x(k),k)x^{\prime}(k)+g_k(x(k),k)=-x(k)<0.$$
よって $M(k)$ は減少する。$k\to +0$ では $x(k)\to\pi$ なので
$$\lim_{k\to0+}M(k)=\log\left((2+\sqrt3)^2\right)=\log(7+4\sqrt3).$$
$k\to 2\sqrt3-0$ では $x(k)\to\pi/6$ なので
$$\lim_{k\to2\sqrt3-}M(k)=\log\frac14-\frac{\sqrt3}{3}\pi.$$
両端の $k$ は範囲に含まれず、$M(k)$ は連続であり、$k$ が増えると値が必ず小さくなるから、その値域は
$$\log\frac14-\frac{\sqrt3}{3}\pi<M(k)<\log(7+4\sqrt3)$$
である。