3獨協医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

極座標の交点と三角形面積を求めた後、直交座標の媒介変数表示を微分して曲線長・接線方向を調べる。

直線 $\theta=\pi/6$ 上の交点は、$0\leqq\theta\leqq2\pi$ の範囲で偏角が $\pi/6,7\pi/6$ の2点であり、半径はそれぞれ $ae^{\pi/6},ae^{7\pi/6}$ である。従って前者が $B_1$、後者が $B_2$ である。同様に、$D_1,D_2$ の偏角はそれぞれ $\pi/3,4\pi/3$ である。

(1) 三角形 $OB_1D_2$ の二辺のなす角の小さい方は $5\pi/6$ で、その正弦は $1/2$ である。よって面積条件から
$$\frac14 a^2e^{\pi/6+4\pi/3}=\frac18e^{3\pi/2},$$
従って $a^2=1/2$、$a=\sqrt2/2$ となる。また
$$S_1=\frac14a^2e^{\pi/6},\qquad S_2=\frac14a^2e^{7\pi/6+4\pi/3},$$
ゆえに $S_2/S_1=e^{7\pi/3}$ である。

(2) $x=ae^\theta\cos\theta,\ y=ae^\theta\sin\theta$ を微分すると
$$x^{\prime}=ae^\theta(\cos\theta-\sin\theta),\qquad y^{\prime}=ae^\theta(\sin\theta+\cos\theta).$$
従って $\sqrt{(x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2}=a\sqrt2e^\theta$ であり、曲線の長さは
$$\int_0^{2\pi}a\sqrt2e^\theta\,d\theta=a\sqrt2(e^{2\pi}-1)=e^{2\pi}-1.$$
また、点 $P$ の位置ベクトルと接ベクトルの内積は $a^2e^{2\theta}$、各ベクトルの長さはそれぞれ $ae^\theta$、$\sqrt2ae^\theta$ である。よって両者のなす角 $\alpha$ は $\cos\alpha=1/\sqrt2$ を満たす。指定範囲から $\alpha=\pi/4$ である。

(3) $\theta_0=\pi/6$、$r_0=ae^{\pi/6}$ とする。直交座標の接ベクトルは $r_0(\cos\theta_0-\sin\theta_0,\sin\theta_0+\cos\theta_0)$ で、その向きは $\theta_0+\pi/4$ である。したがって法線の向きを $\theta_0+3\pi/4$ とすると、接線上の点 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は
$$r\cos(\theta-\theta_0-3\pi/4)=-\frac{r_0}{\sqrt2}$$
を満たす。左辺と右辺の符号を反転し、$a=\sqrt2/2$ を代入すれば
$$r\cos(\theta+\pi/12)=\frac12e^{\pi/6}$$
を得る。