1獨協医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

各本の選択人数が1人のときに限り獲得者となることを使い、本の種類と選択者を順に選んで数える。

各人は4冊のいずれかを選ぶ。本を手に入れる人は、その本を選んだ人がちょうど1人である場合に限られる。

(1) AがP、BがQを手に入れるには、AはP、BはQを選び、残る6人はP,Qを選べない。よって選び方は $2^6=64$ 通りである。AとBの両方が本を手に入れる場合は、Aの本を4通り、Bの本をAと異なる本から3通り選ぶ。残る6人はこの2冊を選べず、残る2冊から選ぶので、$4\cdot3\cdot2^6=768$ 通りである。

(2) 手に入れる人がちょうど3人なら、3冊にそれぞれ1人ずつが選び、残る1冊を残り5人が選ぶ。3冊の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{3}$ 通り、そこへ異なる3人を割り当てる方法は $8\cdot7\cdot6$ 通りである。したがって ${}_{4}\mathrm{C}_{3}\cdot8\cdot7\cdot6=1344$ 通り。

(3) 手に入れるのがAとBだけとなるには、AとBは異なる本を選び、残る6人はその2冊を選ばない。残った2冊への選び方で、一方だけを選ぶ人数が1人または5人なら、その本を選んだ1人も手に入れてしまう。それ以外の選び方は $2^6-{}_{6}\mathrm{C}_{1}-{}_{6}\mathrm{C}_{5}=52$ 通りである。A、Bの本の選び方は $4\cdot3$ 通りなので、合計 $4\cdot3\cdot52=624$ 通り。

(4) だれにも選ばれない本を4冊から選び、Aが手に入れる本を残る3冊から選ぶ。残る7人はこの2冊を選べず、Aの本を選ぶこともできないので、残る2冊に分かれる。A以外に勝者がいないため、この2冊はいずれも少なくとも2人に選ばれる。片方を選ぶ人数は2人から5人までであり、残りをもう片方に割り当てるから、選び方は
$${}_{7}\mathrm{C}_{2}+{}_{7}\mathrm{C}_{3}+{}_{7}\mathrm{C}_{4}+{}_{7}\mathrm{C}_{5}=112$$
通り。したがって全体は $4\cdot3\cdot112=1344$ 通りである。