III関西医科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

導関数からfの増減と唯一の零点を調べる。g'をf/x²と表し、gの増減・端点値・負の最小値の範囲で整数水平線との共有点数を分類する。

(1) 微分すると
$$f'(x)=\pi\cos(\pi x)-\pi^2x\sin(\pi x)-\pi\cos(\pi x) =-\pi^2x\sin(\pi x).$$
$0<x<1$ では $\sin(\pi x)>0$ なので $f'(x)<0$，$1<x<2$ では $\sin(\pi x)<0$ なので $f'(x)>0$ である。したがって $f$ は $0<x<1$ で減少し，$1<x\leqq2$ で増加する。また
$$\lim_{x\to0+}f(x)=0,\qquad f(1)=-\pi,\qquad f(2)=2\pi.$$
よって $x=1$ で最小値 $-\pi$ をとり，$1<x<2$ にただ1つ零点がある。概形は，開端点 $(0,0)$ から下がって $(1,-\pi)$ で最小となり，そこから上昇して一度 $x$ 軸を横切り，$(2,2\pi)$ に至る。

(2) $f$ は $1<x<2$ でxが大きくなると値も必ず大きくなる。さらに
$$f\!\left(\frac43\right)=-\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}<0, \qquad f\!\left(\frac32\right)=1>0.$$
実際，$\pi>3$ および $\sqrt3<2$ から $-\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}<-2+1<0$ である。連続性により $\frac43<x<\frac32$ に零点が存在し，異なるxの値に対して同じ値をとらないことからその零点はただ1つである。

(3) $g(x)=\frac{\sin(\pi x)}x$ とおくと，$x>0$ で
$$g'(x)=\frac{\pi x\cos(\pi x)-\sin(\pi x)}{x^2}=\frac{f(x)}{x^2}.$$
(1),(2)で示した零点を $\alpha$ とすると，$f(x)<0$ は $0<x<\alpha$，$f(x)>0$ は $\alpha<x\leqq2$ である。したがって $g$ は $0<x<\alpha$ で減少し，$\alpha<x\leqq2$ で増加する。$\lim_{x\to0+}g(x)=\pi$，$g(1)=g(2)=0$ であり，$g(x)<0$ は $1<x<2$ である。また最小値 $g(\alpha)$ は負で，
$$g(\alpha)=\frac{\sin(\pi\alpha)}{\alpha}\geqq-\frac1\alpha>-1$$
なので，負の整数値はとらない。

$0<x\leqq1$ では $g$ は $x\to0+$ で $\pi$ に近づき、$x$ が大きくなると値は必ず小さくなって $x=1$ で0となる。よって $3<\pi<4$ より，$n=1,2,3$ の各水平線とはこの区間で1点だけ共有点をもつ。$n\geqq4$ では共有点がない。さらに $g(x)=0$ となるのはこの定義域内で $x=1,2$ の2点である。以上より共有点の個数は
$$\begin{cases} 1& (n=1,2,3),\\ 2& (n=0),\\ 0& (n\leqq-1\text{ または }n\geqq4) \end{cases}$$
である。