4獨協医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

導関数の符号と第二次導関数から (1) の極大と変曲を判定する。(2) は共通定義域で交点方程式を解き、対数の原始関数による面積表示を得た後、導関数の符号から t の最大点を決める。

(1) 商の微分により
$$f'(x)=\frac{2(5-x^2)}{(x^2+5)^2}.$$
分母は常に正であり、$x\geqq 0$ では $0\leqq x<\sqrt5$ で $f'(x)>0$、$x>\sqrt5$ で $f'(x)<0$ となる。したがって $x=\sqrt5$ で極大値をとり、
$$f(\sqrt5)=\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{5}.$$
さらに
$$f''(x)=\frac{4x(x^2-15)}{(x^2+5)^3}.$$
$0<x<\sqrt{15}$ では $f''(x)<0$、$x>\sqrt{15}$ では $f''(x)>0$ だから、変曲点は $x=\sqrt{15}$ にある。そのとき
$$f(\sqrt{15})=\frac{2\sqrt{15}}{20}=\frac{\sqrt{15}}{10}.$$
なお、定義域の端点 $x=0$ の右側では $f''(x)<0$ で符号が変わらないので、そこは変曲点ではない。

(2) 左へ $t$ 平行移動した曲線は $y=f(x+t)$ と表される。$C_1$ と $C_2$ の共通定義域は $x\geqq0$ である。交点では
$$\frac{2x}{x^2+5}=\frac{2(x+t)}{(x+t)^2+5},$$
分母は正だから交差して整理すると
$$t(x^2+tx-5)=0.$$
$t>0$ より $x^2+tx-5=0$ であり、$x\geqq0$ を満たす解は
$$\alpha=\frac{-t+\sqrt{t^2+20}}{2}$$
だけである。特に $\alpha^2+t\alpha=5$ だから、
$$\frac{(\alpha+t)^2+5}{\alpha^2+5} =\frac{(\alpha+t)(2\alpha+t)}{\alpha(2\alpha+t)} =\frac{\alpha+t}{\alpha} =\frac{(t+\sqrt{t^2+20})^2}{20}.$$
$x=0$ では $f(x+t)>f(x)$ であり、正の交点は $\alpha$ のみなので、$0\leqq x\leqq\alpha$ では $C_2$ が $C_1$ の上側にある。よって囲まれた部分の面積は
$$\begin{aligned} S(t)&=\int_0^\alpha\{f(x+t)-f(x)\}\,dx\\ &=\log\frac{(\alpha+t)^2+5}{\alpha^2+5}-\log(t^2+5)+\log5\\ &=2\log(t+\sqrt{t^2+20})-\log(t^2+5)-2\log2. \end{aligned}$$$$S(t)={\int }_0^{\alpha }\{f(x+t)-f(x)\}dx$$$$=\log \frac{(\alpha +t{)}^2+5}{{\alpha }^2+5}-\log (t^2+5)+\log 5$$$$=2\log (t+\sqrt{t^2+20})-\log (t^2+5)-2\log 2.$$
これを微分すると
$$S'(t)=\frac{2}{\sqrt{t^2+20}}-\frac{2t}{t^2+5}.$$
$t>0$ において各分母は正であり、$S'(t)$ の符号は
$$(t^2+5)-t\sqrt{t^2+20}$$
の符号に等しい。両項は正なので平方して比較すると、その符号は
$$(t^2+5)^2-t^2(t^2+20)=25-10t^2$$
の符号に等しい。したがって $0<t<\sqrt{5/2}$ で $S'(t)>0$、$t>\sqrt{5/2}$ で $S'(t)<0$ となり、最大となるのは
$$t=\sqrt{\frac52}=\frac{\sqrt{10}}2$$
のときである。