3大分大学 2025年 数学 第3問解答・解説

平方和の有限計算、二項定理による冪和の極限導出、部分分数分解による隣り合う項が打ち消し合う和を用いる。

(1) 定義より、$$a_2(25)=\frac{1}{25^2}\sum_{i=1}^{25}i^2=\frac{25\cdot26\cdot51}{6\cdot25^2}=\frac{221}{25}.$$
(2) $$a_1(5)=\frac{15}{5}=3,\qquad a_2(5)=\frac{55}{25}=\frac{11}{5},\qquad a_3(5)=\frac{225}{125}=\frac95.$$ したがって、$$\sum_{k=1}^{3}a_k(5)=3+\frac{11}{5}+\frac95=7.$$
(3) $S_j(n)=\sum_{i=1}^{n}i^j$ とおき、$S_0(n)=n$ とする。二項定理を用いて差を足し合わせると、$$(n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=1}^{n}\bigl((i+1)^{k+1}-i^{k+1}\bigr)=(k+1)S_k(n)+\sum_{j=0}^{k-1}{}_{k+1}\mathrm{C}_{j}S_j(n).$$ $0\leqq j\leqq k-1$ ならば $0\leqq S_j(n)\leqq n^{j+1}\leqq n^k$ である。よって、最後の和を $n^{k+1}$ で割ったものは、$k$ を固定して $n\to\infty$ とすると $0$ に収束する。一方、$\bigl((n+1)^{k+1}-1\bigr)/n^{k+1}\to1$ なので、上の等式から $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_k(n)}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}.$$ ここで $a_k(n)/n=S_k(n)/n^{k+1}$ だから、$$b_k=\frac{1}{k+1}.$$
(4) (3)の結果を用いると、$$b_kb_{k+1}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}.$$ したがって、部分和は $$\sum_{k=1}^{m}b_kb_{k+1}=\frac12-\frac{1}{m+2}$$ となり、$m\to\infty$ とすると求める値は $\frac12$ である。