4島根大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 右辺−左辺=$\left(\frac1a-1\right)^2>0$。
(2) $F(x)=ax-\log(1+x)$、$c=\frac1a-1>0$とする。指定下端$u=2c$、上端$v=\frac1{a^2}-1$で、$u<v$は(1)による。$y=\frac{1-a}{a}>0$ と置くと $u=2y,\quad au=\frac{2y}{1+y},\quad 1+u=1+2y$。$G(y)=\log(1+2y)-\frac{2y}{1+y}$ は$G(0)=0$、$G^{\prime}(y)=\frac{2y^2}{(1+2y)(1+y)^2}>0$、よって$F(u)<0$。$t=\frac1a>1$ と置くと $F(v)=t-\frac1t-2\log t$。H(t)で同式を置くと$H(1)=0$、$H^{\prime}(t)=\frac{(t-1)^2}{t^2}>0$、よって$F(v)>0$。$x>c$ では $F^{\prime}(x)=a-\frac1{1+x}>0$であり、$u=2c>c$なのでFは$u\leqq x\leqq v$の範囲で増加して異なるxに対して同じ値をとらず、符号変化と中間値の定理から根βがただ一つある。
(3) $x<0$では$F^{\prime}(x)<0$かつ$F(0)=0$なので$F(x)>0$。$0<x<\beta$ では $F(x)<0$で、曲線log(1+x)が直線axより上。面積 $S=\int_0^\beta[\log(1+x)-ax]\,dx=(1+\beta)\log(1+\beta)-\beta-\frac{a\beta^2}{2}$。$\log(1+\beta)=a\beta$より$S=\frac a2\beta^2-(1-a)\beta$。