2札幌医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)
位置ベクトルの差より
$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$$
である。したがって
$$\begin{aligned} x&=\vec a\cdot(\vec c-\vec b)+\vec c\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=\vec a\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec a\\ &=\vec b\cdot(\vec c-\vec a)=w. \end{aligned}$$$$x=\vec{a}\cdot (\vec{c}-\vec{b})+\vec{c}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$$$$=\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}-\vec{c}\cdot \vec{a}$$$$=\vec{b}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=w.$$
また
$$\begin{aligned} y&=\vec a\cdot(\vec b-\vec a)+\vec c\cdot(\vec c-\vec b)\\ &=\vec a\cdot\vec b-a^2+c^2-\vec b\cdot\vec c\\ &=c^2-a^2-\vec b\cdot(\vec c-\vec a)=c^2-a^2-w. \end{aligned}$$$$y=\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{a})+\vec{c}\cdot (\vec{c}-\vec{b})$$$$=\vec{a}\cdot \vec{b}-a^2+c^2-\vec{b}\cdot \vec{c}$$$$=c^2-a^2-\vec{b}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=c^2-a^2-w.$$
さらに
$$z=\vec a\cdot\vec c+(\vec b-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b) =\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c-b^2.$$
ここで
$$q^2=|\vec b-\vec a|^2=a^2+b^2-2\vec a\cdot\vec b, \qquad w=\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b$$
だから
$$a^2-q^2+w =-b^2+2\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b =\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c-b^2=z.$$
よって3つの等式が成り立つ。

(2)
$\vec e$ は $\vec b$ 方向の単位ベクトルであり、$b>0$ である。$\vec e$ と直交する単位ベクトル $\vec f$ をとり、
$$\vec a=\alpha\vec e+\beta\vec f,\qquad \vec c=\gamma\vec e+\delta\vec f,\qquad \vec b=b\vec e$$
とおく。直線 $OB$ は $\vec e$ 方向であるから、$A,C$ がその反対側にあることより $\beta$ と $\delta$ は符号が反対である。三角形の面積を底辺 $OB$ と高さで表すと
$$[OAB]=\frac12 b|\beta|,\qquad [OBC]=\frac12 b|\delta|.$$
面積が等しいので $|\beta|=|\delta|$ であり、符号が反対であることと合わせて $\delta=-\beta$ を得る。よって
$$\vec a+\vec c=(\alpha+\gamma)\vec e =\frac{\alpha+\gamma}{b}\vec b.$$
なお、$\alpha+\gamma=0$ なら $\vec c=-\vec a$ となり、$O,A,C$ が一直線上に並ぶ。これは「どの3点も同一直線上にはない」に反する。したがって $\alpha+\gamma\ne0$ であり、$\vec a+\vec c$ は $\vec b$ と平行である。

(3)
(1)より $w=\vec b\cdot(\vec c-\vec a)$ である。上の成分表示と $\vec e\cdot\vec f=0$ を用いると
$$w=b\vec e\cdot\bigl((\gamma-\alpha)\vec e-2\beta\vec f\bigr) =b(\gamma-\alpha).$$
したがって $\lambda=w/b=\gamma-\alpha$ であり、
$$\vec c-\lambda\vec e =\gamma\vec e-\beta\vec f-(\gamma-\alpha)\vec e =\alpha\vec e-\beta\vec f.$$
$\vec e,\vec f$ は直交する単位ベクトルだから
$$|\vec c-\lambda\vec e|^2=\alpha^2+\beta^2=|\vec a|^2=a^2.$$
両辺の平方根をとり、長さが非負であることから $|\vec c-\lambda\vec e|=a$ となる。

(4)
成分表示から $a^2=\alpha^2+\beta^2$、$c^2=\gamma^2+\beta^2$ であり、(1)より $x=w=b(\gamma-\alpha)$ である。また
$$\begin{aligned} y&=c^2-a^2-w\\ &=(\gamma^2+\beta^2)-(\alpha^2+\beta^2)-b(\gamma-\alpha)\\ &=(\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-b). \end{aligned}$$$$y=c^2-a^2-w$$$$=({\gamma }^2+{\beta }^2)-({\alpha }^2+{\beta }^2)-b(\gamma -\alpha )$$$$=(\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -b).$$
さらに $q^2=|\vec b-\vec a|^2=(b-\alpha)^2+\beta^2$ だから
$$\begin{aligned} z&=a^2-q^2+w\\ &=(\alpha^2+\beta^2)-\bigl((b-\alpha)^2+\beta^2\bigr)+b(\gamma-\alpha)\\ &=b(\gamma+\alpha-b). \end{aligned}$$$$z=a^2-q^2+w$$$$=({\alpha }^2+{\beta }^2)-((b-\alpha {)}^2+{\beta }^2)+b(\gamma -\alpha )$$$$=b(\gamma +\alpha -b).$$
以上より
$$xz=b^2(\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-b)=b^2y.$$
条件 $y\ne0$ のもとで両辺を $y$ で割ることができるので
$$\boxed{b^2=\frac{xz}{y}}.$$
検算として、上の成分式を右辺に代入すると
$$\frac{xz}{y} =\frac{b(\gamma-\alpha)\,b(\gamma+\alpha-b)}{(\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-b)} =b^2,$$
となり、条件 $y\ne0$ により分母も0ではない。