4山口大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)

$$\begin{aligned} f(x)+g(x)&=e^{-x}(\sin x+\cos x),\\ (f(x)+g(x))'&=-e^{-x}(\sin x+\cos x)+e^{-x}(\cos x-\sin x)\\ &=-2e^{-x}\sin x. \end{aligned}$$$$f(x)+g(x)=e^{-x}(\sin x+\cos x),$$$$(f(x)+g(x){)}^{\prime }=-e^{-x}(\sin x+\cos x)+e^{-x}(\cos x-\sin x)$$$$=-2e^{-x}\sin x.$$
したがって、$\left(-\dfrac{1}{2}(f(x)+g(x))\right)'=f(x)$である。また、$\sin\dfrac{3\pi}{4}+\cos\dfrac{3\pi}{4}=0$より
$$F(x)=-\dfrac{1}{2}(f(x)+g(x))=-\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x).$$

(2)

$0<t<\pi$では$f(t)>0$である。曲線上の点$(t,\,F(t))$における接線は
$$y=F(t)+f(t)(x-t)$$
だから、これが$(a,\,0)$を通る条件は
$$F(t)+f(t)(a-t)=0$$
であり、これは
$$a=t+\dfrac{f(t)+g(t)}{2f(t)}=t+\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\cos t}{\sin t}\right)=:H(t)$$
と同値である。よって接点の個数は$H(t)=a$の解の個数である。微分すると
$$H'(t)=1-\dfrac{1}{2\sin^{2}t}$$
である。これは$0<t<\dfrac{\pi}{4}$または$\dfrac{3\pi}{4}<t<\pi$のとき負、$\dfrac{\pi}{4}<t<\dfrac{3\pi}{4}$のとき正であり、
$$\lim_{t\to0+}H(t)=+\infty,\quad H\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1+\dfrac{\pi}{4},\quad H\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{3\pi}{4},\quad\lim_{t\to\pi-}H(t)=-\infty.$$
ここで$1+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$である。したがって、$a$が$1+\dfrac{\pi}{4}$より小さいとき、または$\dfrac{3\pi}{4}$より大きいときは解が1個、$a=1+\dfrac{\pi}{4}$または$a=\dfrac{3\pi}{4}$のときは解がそれぞれ2個、$1+\dfrac{\pi}{4}<a<\dfrac{3\pi}{4}$のときは解が3個である（隣り合う区間の端の解は同じ接点として数える）。

なお、異なる接点が同じ接線を与えることはない。実際、$f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$より、$f(x)$は$0<x<\dfrac{\pi}{4}$で増加し、$\dfrac{\pi}{4}<x<\pi$で減少する。もし$t_{1}<t_{2}$における接線が同一なら、その傾き$m=f(t_{1})=f(t_{2})$は等しく、増減から$t_{1}<\dfrac{\pi}{4}<t_{2}$かつ$f(t)>m\ (t_{1}<t<t_{2})$となる。一方、$D(t)=F(t)-m(t-a)$とおけば$D'(t)=f(t)-m>0$なので$D(t_{2})>D(t_{1})$となり、両点で同じ接線上にあることに矛盾する。したがって、上の接点数がそのまま接線の本数である。

まとめると、(1)の答えは$F(x)=-\dfrac{1}{2}(f(x)+g(x))$であり、(2)の答えは上の場合分けのとおりである。