1山口大学 2026年 数学 第1問解答・解説

次の問いに答えなさい。
(1) 2つの複素数 $w,z$ が等式 $z=\frac{3w+2}{w+4}$ を満たす。複素数平面上で点 $w$ が $|w-1|=1$ で表される図形上を動くとする。
(i) $w$ を $z$ を用いて表しなさい。
(ii) 複素数平面上で点 $z$ がどのような図形を描くか、その概形をかきなさい。
(2) ある地域から選んだ $N$ 人の住民それぞれについて、1日当たりの平均運動時間が、ある基準以上の場合はグループ $A$ に、そうでない場合はグループ $B$ に分類したところ、グループ $A$ と $B$ の人数比は $3:2$ であった。
また、その $N$ 人の住民それぞれに対し、得点が3、2、1いずれかである体力テストを実施したところ、次の結果を得た。
・得点3の人数は、グループ $A,B$ 合わせて $\frac{3}{10}N$ 人であった。
・グループ $A$ における得点2の人数の割合は、グループ $A$ 全体に対して $\frac{1}{2}$ であった。
・グループ $B$ における得点2、得点1の人数の割合は、グループ $B$ 全体に対して、それぞれ $\frac{1}{2},\frac{3}{8}$ であった。
(i) グループ $A,B$ を合わせて考えた場合、得点の平均値と分散を求めなさい。ただし、小数を用いず、分数を用いて答えなさい。
(ii) 変量 $x$ を、グループ $A$ ならば $x=1$、グループ $B$ ならば $x=0$ として与える。変量 $y$ を体力テストの得点とするとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めなさい。ただし、小数を用いず、分数や根号を用いて答えなさい。