3山口大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

放物線$y=x^2/4-2$と$x$軸の交点は$(\pm2\sqrt2,0)$である。
$|x|\leqq2$のとき$x^2/4-2\leqq0$であり、
$$\left(2-\frac{x^2}4\right)^2-(4-x^2)=\frac{x^4}{16}\geqq0$$
から$x^2/4-2\leqq-\sqrt{4-x^2}$となる。従って半径2の円の下半分は、放物線と$x$軸の間の部分に含まれる。
よって$D_1$は、上半円$y=\sqrt{4-x^2}\ (|x|\leqq2)$、放物線$y=x^2/4-2\ (|x|\leqq2\sqrt2)$、および$x$軸上の$2\leqq|x|\leqq2\sqrt2$の2線分で囲まれた領域である。境界をすべて含む。

(2)

上半円の面積と、放物線と$x$軸の間の面積を加えて
$$\begin{aligned} |D_1|&=2\pi+\int_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2}\left(2-\frac{x^2}4\right)dx\\ &=2\pi+\left[2x-\frac{x^3}{12}\right]_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2} =\boxed{2\pi+\frac{16\sqrt2}{3}}. \end{aligned}$$$$|D_1|=2\pi +{\int }_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}\left(2-\frac{x^2}{4}\right)dx$$$$=2\pi +{\left[2x-\frac{x^3}{12}\right]}_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}=\boxed{2\pi +\frac{16\sqrt{2}}{3}}.$$

(3)

半径$\sqrt2$の円の内部は$D_1$に含まれる。この内部で$X=D_2\cup D_3$に入らない条件は
$$y\leqq\sqrt3x\quad\text{かつ}\quad y\leqq-\sqrt3x, \quad\text{すなわち}\quad y\leqq-\sqrt3|x|.$$
これは下向きの扇形であり、2本の境界半直線の方向角は$4\pi/3,5\pi/3$、中心角は$\pi/3$である。
従って$Y$は$D_1$のうち、半径$\sqrt2$の円の外側と円周全体、およびその円の内部の下向き扇形を合わせたもの。円周は除去条件$x^2+y^2<2$を満たさないので残る。また下向き扇形の両側の線分と原点も残る。
つまり、$Y$は$D_1$の中で
$$\boxed{x^2+y^2\geqq2\quad\text{または}\quad y\leqq-\sqrt3|x|}$$
を満たす点全体である。
図の着色部分が$Y$で、描いた境界はすべて含む。

(4)

除いた部分$X$の面積は、半径$\sqrt2$の円から中心角$\pi/3$の扇形を除いた面積なので
$$|X|=2\pi-\frac12(\sqrt2)^2\frac\pi3=\frac{5\pi}{3}.$$
従って
$$\boxed{|Y|=2\pi+\frac{16\sqrt2}{3}-\frac{5\pi}{3} =\frac{16\sqrt2+\pi}{3}}.$$