1山口大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ である。
したがって $x\leqq-1$ または $x\geqq2$ では $f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$、$-1\leqq x\leqq2$ では $f(x)=1-x^2$ となる。
各枝で有効な根を取ると、$-1,1,3$ を得る。

(2)

外側の導関数は $2x-2$、中央は $-2x$ である。したがって $(-\infty,-1)$ で減少、$(-1,0)$ で増加、$(0,2)$ で減少、$(2,\infty)$ で増加する。
折れ点 $-1$ では左右の増減が減少から増加へ、$2$ でも減少から増加へ変わるので、極小となる。$x=0$ では増加から減少へ変わるので極大となる。関数値を代入して結論を得る。
$x=-1,2$ では微分不能だが、極値の定義には支障がない。

(3)

$x=1$ は中央の枝 $f(x)=1-x^2$ の内部にあり、$f(1)=0$、$f'(1)=-2$ である。したがって接線は $y=-2(x-1)$ となる。

(4)

外側の枝では $\ell-f=5-x^2$、中央では $\ell-f=(x-1)^2$ である。
共有点は外側の $x=\pm\sqrt5$ と接点 $x=1$ であり、$-\sqrt5\leqq x\leqq\sqrt5$ では $\ell$ が上にある。
したがって面積は
$$\int_{-\sqrt5}^{-1}(5-x^2)\,dx+\int_{-1}^2(x-1)^2\,dx+\int_2^{\sqrt5}(5-x^2)\,dx$$
である。全区間の $5-x^2$ の積分 $\frac{20\sqrt5}3$ から中央分 $12$ を除き、中央の別の積分 $3$ を足すと、$\frac{20\sqrt5}3-9$ となる。