2山口大学 2023年 数学 第2問解答・解説

内接円の半径と二つの角の半角を求め、AB上の接点間距離を中心間距離から表す。外接条件で得た二次式制約のもとで半径和を平方の非負性により最小化する。

辺の長さを $a=BC=9,\ b=CA=8,\ c=AB=7$、半周長を $s=12$、面積を $K$ とする。$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{12\cdot3\cdot4\cdot5}=12\sqrt5,\qquad r=\frac Ks=\sqrt5.$$したがって、(1) の答えは $\sqrt5$ である。
$A,B$ の余弦定理と半角の公式から$$\cos A=\frac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot7\cdot8}=\frac27,\quad \tan\frac A2=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\frac{\sqrt5}{3},$$$$\cos B=\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot7\cdot9}=\frac{11}{21},\quad \tan\frac B2=\sqrt{\frac{1-\cos B}{1+\cos B}}=\frac{\sqrt5}{4}.$$円が辺 $AB$ に接する点をそれぞれ $D_1,D_2$ とし、半径を $r_1,r_2$ とする。角の二等分線と接点までの直角三角形より$$AD_1=r_1\cot\frac A2=\frac{3r_1}{\sqrt5},\qquad BD_2=r_2\cot\frac B2=\frac{4r_2}{\sqrt5}.$$接点は辺上にあるので $r_1\leqq7\sqrt5/3<4\sqrt5$、$r_2\leqq7\sqrt5/4<3\sqrt5$。$A$-傍接円と $B$-傍接円の半径はそれぞれ $K/(s-a)=4\sqrt5$、$K/(s-b)=3\sqrt5$ であり、内接円と各傍接円の間の角二等分線上の円は反対辺と2点で交わる。よって問題の条件から $0<r_1,r_2\leqq\sqrt5$。したがって $D_1,D_2$ はこの順に並び、$$D_1D_2=7-AD_1-BD_2=7-\frac{3r_1+4r_2}{\sqrt5}.$$両円の中心から $AB$ に下ろした垂線の長さは $r_1,r_2$。外接条件より中心間距離は $r_1+r_2$ だから、三平方の定理で$$D_1D_2^2+(r_1-r_2)^2=(r_1+r_2)^2,\qquad D_1D_2=2\sqrt{r_1r_2}.$$よって$$3r_1+4r_2+2\sqrt5\sqrt{r_1r_2}=7\sqrt5.\tag{1}$$$r_1=r_2=r$ とすると、(1) から$$r(7+2\sqrt5)=7\sqrt5,\qquad r=\frac{7\sqrt5}{7+2\sqrt5}=\frac{49\sqrt5-70}{29}.$$これが (2) の答えである。
(3) では円周の和は $2\pi(r_1+r_2)$ なので、$r_1+r_2$ を最小にすればよい。(1) に $u=\sqrt{r_1},v=\sqrt{r_2}$ を代入し、$$3u^2+4v^2+2\sqrt5uv=7\sqrt5.\tag{2}$$とおく。$\lambda=(7+\sqrt{21})/2$ とすると $(\lambda-3)(\lambda-4)=5$ であり、$$\lambda(u^2+v^2)-(3u^2+4v^2+2\sqrt5uv)=\left(\sqrt{\lambda-3}\,u-\sqrt{\lambda-4}\,v\right)^2\geqq0.$$したがって (2) より$$u^2+v^2\geqq\frac{7\sqrt5}{\lambda}=\frac{14\sqrt5}{7+\sqrt{21}}.$$等号は $v/u=\sqrt{(\lambda-3)/(\lambda-4)}=(1+\sqrt{21})/(2\sqrt5)$、すなわち $r_2/r_1=(11+\sqrt{21})/10$ のときに成立する。これと等号時の $r_1+r_2$ から$$r_1=\frac{\sqrt5(6-\sqrt{21})}{3},\qquad r_2=\frac{\sqrt5(9-\sqrt{21})}{6}.$$いずれも $0<r_i<\sqrt5$ なので接点は各辺上にあり、反対辺を2点で切らない。また (1) を満たすため両円は外接する。よって最小値は実現され、これが (3) の答えである。