1和歌山県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$n$と$n-1$は連続する整数なので、一方は偶数、他方は奇数である。したがって$n(n-1)$の因数$2$は偶数である方にしか含まれない。$n(n-1)$が$4$で割り切れるならば、偶数である方は$4$の倍数でなければならない。よって、$n$が$4$の倍数であるか、$n-1$が$4$の倍数である。

(2)

$n$は2桁なので$10\leqq n\leqq99$、したがって$9\leqq n-1\leqq98$であり、$n$、$n-1$のいずれも$100$の倍数ではない。連続する整数のうち偶数は一方だけだから、$n(n-1)$が$4$で割り切れることから、偶数の方は$4$の倍数である。また連続する整数のうち$5$の倍数は一方だけなので、$n(n-1)$が$25$で割り切れるならば、その一方は$25$の倍数である。もし同じ因数が$4$と$25$の両方で割り切れれば、その因数は$100$の倍数になるが、上の範囲では不可能である。したがって、$4$の倍数となる因数と$25$の倍数となる因数は別々であり、示す二つの場合のいずれかとなる。

(3)

下4桁が$n$と一致する条件は$n^{2}\equiv n\pmod{10000}$、すなわち$n(n-1)$が$10000$で割り切れることである。連続する整数の一方だけが偶数なので、その偶数の因数は$16$の倍数である。また一方だけが$5$の倍数であり、積が$5^{4}$で割り切れるから、その因数は$625$の倍数である。両方の条件が同じ因数に集まれば、その因数は$10000$の倍数となるが、$1000\leqq n\leqq9999$および$999\leqq n-1\leqq9998$であるから、$n$、$n-1$のいずれも$10000$の倍数ではなく、これは不可能である。よって次の二つの場合を調べる。
(i) $n$は$16$で割り切れ、$n-1$は$625$で割り切れるとき。$n=625k+1$とおくと、$625\equiv1\pmod{16}$より$k+1\equiv0\pmod{16}$であり、従って$k=16q+15$と書ける。よって$n=10000q+9376$であり、4桁の範囲では$q=0$、すなわち$n=9376$である。
(ii) $n$は$625$で割り切れ、$n-1$は$16$で割り切れるとき。$n=625k$とおくと、$625\equiv1\pmod{16}$より$k\equiv1\pmod{16}$である。従って$n=10000q+625$となるが、4桁の数にはならない（$q=0$では625、$q=1$では10625）。ゆえにこの場合はない。
最後に$9376^{2}=87909376$なので、実際に下4桁は$9376$であり、条件を満たす。