3和歌山県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

導関数の因数分解と符号表で増減・極値を求め、二階導関数の零点で区間を分けて凹凸と変曲点を判定する。絶対値を含む関数は内側と外側に場合分けし、符号反転を反映する。

(1) $p=x^2-x$ とおくと $f=p^3$ である。積と合成関数の微分より$$f'(x)=3(x^2-x)^2(2x-1)=3x^2(x-1)^2(2x-1).$$ $x=0,1$ では $f'=0$ だが、その他では $(x-1)^2x^2>0$ なので、$x<\frac12$ では $f'<0$、$x>\frac12$ では $f'>0$ である。従って $f$ は $x<\frac12$ で減少し、$x>\frac12$ で増加する。$x=0,1$ で導関数が $0$ となってもその前後で増減は変わらない。$f(\frac12)=(-\frac14)^3=-\frac1{64}$ であり、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to+\infty$ だから、$(\frac12,-\frac1{64})$ が唯一の極小点で、極大値はない。
次に$$f''(x)=6(x^2-x)(2x-1)^2+6(x^2-x)^2=6(x^2-x)(5x^2-5x+1).$$ $5x^2-5x+1=0$ の解を $a=\frac{5-\sqrt5}{10}$、$b=\frac{5+\sqrt5}{10}$ とおくと、$0<a<b<1$ である。因数の符号を調べると$$\begin{array}{c|ccccc}x&x<0&0<x<a&a<x<b&b<x<1&x>1\\\hline f''(x)&+&-&+&-&+\end{array}$$ となる。従ってグラフは $x<0,a<x<b,x>1$ で下に凸、$0<x<a,b<x<1$ で上に凸である。$f''$ の符号が変わる $x=0,a,b,1$ はすべて変曲点の $x$ 座標である。$f(0)=f(1)=0$ であり、$a,b$ では $a^2-a=b^2-b=-\frac15$ だから $f(a)=f(b)=-\frac1{125}$。変曲点は$$(0,0),\quad(a,-\frac1{125}),\quad(b,-\frac1{125}),\quad(1,0).$$ また $f(1-x)=f(x)$ なので、グラフは直線 $x=\frac12$ に関して対称である。両端で上昇し、$x=0,1$ では水平接線をもって $x$ 軸を横切り、中央に極小点をもつ概形となる。
(2) $x^2-x$ は $x\leqq0$ または $x\geqq1$ で $0$ 以上、$0<x<1$ で負である。従って$$g(x)=\begin{cases}f(x)&(x\leqq0,\ x\geqq1),\\-f(x)&(0\leqq x\leqq1).\end{cases}$$ となる。$x<0$ では $g=f$ は減少し、$0<x<\frac12$ では $g=-f$ は増加し、$\frac12<x<1$ では減少し、$x>1$ では増加する。よって $x=0,1$ で最小値 $0$ をとり、$0\leqq x\leqq1$ の内部では $x=\frac12$ で最大値 $g(\frac12)=\frac1{64}$ をとる。両端で $g(x)\to+\infty$ である。
$x\ne0,1$ では $g''=f''$ (外側) または $g''=-f''$ (内側) である。符号表は$$\begin{array}{c|ccccc}x&x<0&0<x<a&a<x<b&b<x<1&x>1\\\hline g''(x)&+&+&-&+&+\end{array}$$ となる。従って $a,b$ で凹凸が変わり、$g(a)=g(b)=\frac1{125}$ より変曲点は $(a,\frac1{125}),(b,\frac1{125})$ である。$x=0,1$ では両側とも下に凸であるから変曲点ではない。以上より、$g$ は $x=0,1$ で水平に $x$ 軸に接してその上にとどまり、範囲 $0\leqq x\leqq1$ の中央で山を作り、区間外では両側へ上昇する概形となる。