4和歌山県立医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

加法定理で三角関数の積を合成し、係数比較に相当する適切な角の代入でαの一意性を示す。零点は定義域内の三角関数の零点から決め、積和公式で定積分を計算する。

(1) 加法定理を用いると$$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$
(2) 左辺を加法定理で整理する。$$\begin{aligned}\sin2x\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)-\frac12\cos x&=\sin2x\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x\right)-\frac12\cos x\\&=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin2x+\sin^2x-\frac12\right)\\&=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin2x-\frac12\cos2x\right)\\&=\cos x\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right).\end{aligned}$$$$\sin 2x\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\frac{1}{2}\cos x=\sin 2x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)-\frac{1}{2}\cos x$$$$=\cos x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+{\sin }^{2}x-\frac{1}{2}\right)$$$$=\cos x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)$$$$=\cos x\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).$$ 従って $\alpha=\frac{\pi}{6}$ ならば問題の等式が成り立つ。これが唯一であることを確認する。$0\leqq x<\frac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$ なので、等式を $\cos x$ で割ることができる。$x=0$ を代入すると $-\sin\alpha=-\frac12$、すなわち $\sin\alpha=\frac12$ である。さらに $x=\frac{\pi}{4}$ を代入すると $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ である。$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ より $\alpha=\frac{\pi}{6}$ に定まる。なお $x=\frac{\pi}{2}$ では両辺とも $0$ となり、等式も満たされる。
(3) (2)より $f(x)=\cos x\sin(2x-\frac{\pi}{6})$ である。$0<\beta<\frac{\pi}{2}$ では $\cos\beta>0$ だから、$f(\beta)=0$ は $\sin(2\beta-\frac{\pi}{6})=0$ と同値である。ここで $-\frac{\pi}{6}<2\beta-\frac{\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}$ であり、この範囲にある正弦の零点は $0$ だけである。よって $2\beta-\frac{\pi}{6}=0$、すなわち $\beta=\frac{\pi}{12}$ である。積和公式で$$f(x)=\frac12\left\{\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right\}$$ となる。従って$$\begin{aligned}\int_0^\beta f(x)\,dx&=\left[-\frac16\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]_0^{\pi/12}\\&=-\frac23\cos\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{3}\\&=\frac{2\sqrt3-\sqrt6-\sqrt2}{6}.\end{aligned}$$$${\int }_0^{\beta }f(x)dx={\left[-\frac{1}{6}\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right]}_0^{\pi /12}$$$$=-\frac{2}{3}\cos \frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{3}$$$$=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6}.$$ $0<x<\beta$ では $2x-\frac{\pi}{6}<0$ かつ $2x-\frac{\pi}{6}>-\frac{\pi}{6}$ なので $f(x)<0$ であり、積分値が負であることとも一致する。