1富山大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $s=\sqrt{t(t+1)}$、$u=\sqrt{t+1}-\sqrt t$ とおく。すると
$$s'=\frac{2t+1}{2s},\qquad \frac{u'}{u}=-\frac{1}{2s}$$
である。従って
$$F'(t)=s'+\frac{u'}u =\frac{2t+1}{2s}-\frac1{2s} =\frac{t}{s}, \qquad \{F'(t)\}^2=\frac{t}{t+1}.$$
ここで $\log$ は自然対数とする。

(2) $x=a+b,\ y=ab$ とおく。$a,b$ は $z^2-xz+y=0$ の非負実根なので、根の和・積と判別式から
$$x\geqq0,\quad y\geqq0,\quad x^2\geqq4y.$$
さらに $a^2+b^2=x^2-2y\leqq1$ より $y\geqq(x^2-1)/2$。従って
$$0\leqq x\leqq\sqrt2,\qquad \max\left(0,\frac{x^2-1}{2}\right)\leqq y\leqq\frac{x^2}{4}.$$
逆にこの範囲では二次方程式の根は実数で、和と積が非負だから両根は非負であり、$a^2+b^2\leqq1$ も成り立つ。よってこれが領域 $D$ の必要十分条件である。上側境界は $y=x^2/4$、下側境界は $0\leqq x\leqq1$ で $y=0$、$1\leqq x\leqq\sqrt2$ で $y=(x^2-1)/2$ となる。

(2)(b) $y=t$ では $4t\leqq x^2\leqq1+2t$。指定範囲では $x\geqq0$ なので
$$f(t)=2\sqrt t,\qquad g(t)=\sqrt{1+2t}.$$
$u=\sqrt{1+2t}$ とおけば $dt=u\,du$、$\sqrt t=\sqrt{u^2-1}/\sqrt2$ である。積分値は
$$\sqrt2\int_{3/(2\sqrt2)}^{2/\sqrt3}\sqrt{u^2-1}\,du =\frac1{\sqrt2}\left[u\sqrt{u^2-1}-\log\left(u+\sqrt{u^2-1}\right)\right]_{3/(2\sqrt2)}^{2/\sqrt3} =\frac{7\sqrt2}{48}-\frac1{2\sqrt2}\log\frac32.$$