3山口大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$P-Q=(p-q)(1,p+q)$、$O-Q=-q(1,q)$ である。

(1) $\angle PQO=\pi/2$ の条件は内積0なので
$$(P-Q)\cdot(O-Q)=-q(p-q)\{1+q(p+q)\}=0.$$
$q<0<p$ より $q(p+q)=-1$、したがって $p=-q-1/q$。$u=-q>0$ とおけば $p=u+1/u\geqq2$。等号は $u=1$ で取れるから、範囲は $p\geqq2$。

(2) 条件1は $P\cdot Q=pq(1+pq)=0$。$p,q\ne0$ より $pq=-1$。点 $R=(r,r^2)$ における直交条件は
$$(P-R)\cdot(Q-R)=(p-r)(q-r)\{1+(p+r)(q+r)\}=0.$$
$pq=-1$ を代入すると最後の因子は $r(r+p+q)$ である。したがって、$R=P,Q$ を除く直交候補は原点 $r=0$ と $r=-p-q$ だけ。条件2が成り立つには、後者も除外点 O, P, Q のどれかと一致する必要がある。
$$-p-q=0,\quad -p-q=p,\quad -p-q=q.$$
それぞれ $pq=-1,\ p>0,\ q<0$ と合わせると
$$(p,q)=(1,-1),\quad(1/\sqrt2,-\sqrt2),\quad(\sqrt2,-1/\sqrt2).$$
各組では直交候補が O, P, Q のみに含まれるため、条件2も満たす。

放物線上の点を媒介変数で表し、各直角条件を対応する二つのベクトルの内積が$0$であることに置き換える。(1)では$q<0$と$p-q>0$から非零因子を除け、残る関係を$u=-q>0$で最小化する。(2)では一般の$R=(r,r^2)$に対する内積を因数分解し、原点以外に生じる候補$r=-p-q$が既存の$P$または$Q$に一致する場合だけを残す。最後にケースを全て代入して確認する。