4高知大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 加法定理で $\sin(2x+x)$ を展開すると
$$\sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x.$$
$\sin2x=2\sin x\cos x$、$\cos2x=1-2\sin^2x$ と $\cos^2x=1-\sin^2x$ を使えば
$$\sin3x=2\sin x(1-\sin^2x)+(1-2\sin^2x)\sin x=3\sin x-4\sin^3x.$$
同様に
$$\begin{aligned} \cos3x&=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x\\ &=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x =4\cos^3x-3\cos x. \end{aligned}$$$$\cos 3x=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$$$$=(2{\cos }^{2}x-1)\cos x-2{\sin }^{2}x\cos x=4{\cos }^{3}x-3\cos x.$$

(2) $c=\cos\theta$ とおく。(1)と $\cos3\theta=-11/16$ より
$$64c^3-48c+11=0=(4c-1)(16c^2+4c-11).$$
根は $c=1/4$ および $c=(-1\pm3\sqrt5)/8$。後者はそれぞれ約 $0.7135,-0.9635$ である。一方 $\pi/3<\theta<\pi/2$ なので $0<\cos\theta<1/2$。この範囲に入る根は $1/4$ のみである。

(3) $\cos\theta=1/4$ と区間から $\sin\theta=\sqrt{15}/4$。$u=\cos x$ と置換すると
$$\int\sin^5x\,dx=-\int(1-u^2)^2du=-u+\frac23u^3-\frac15u^5+C.$$
よって $G(x)=-\cos x+(2/3)\cos^3x-(1/5)\cos^5x$ とすれば
$$G(0)=-\frac{8}{15},\qquad G(\theta)=-\frac14+\frac1{96}-\frac1{5120}=-\frac{3683}{15360}.$$
従って
$$\int_0^\theta\sin^5x\,dx=G(\theta)-G(0)=\frac{4509}{15360}=\frac{1503}{5120}.$$