1徳島大学 2023年 数学 第1問解答・解説

分母は$(x+1)^2+1>0$であるから、$f$はすべての実数で定義される。また、$$f(x)=2-\frac{5(x+1)}{(x+1)^2+1}$$と変形できる。
(1) $x\to\pm\infty$のとき$(x+1)/((x+1)^2+1)\to0$であるから、$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=2.$$
(2) 商の微分法を用いると、$$f'(x)=-5\frac{((x+1)^2+1)-2(x+1)^2}{((x+1)^2+1)^2}=\frac{5((x+1)^2-1)}{((x+1)^2+1)^2}=\frac{5x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}.$$
(3) 分母は常に正であるから、$f'(x)$の符号は$x(x+2)$の符号と一致する。したがって、$f$は$x<-2$で増加し、$-2<x<0$で減少し、$x>0$で増加する。$$f(-2)=\frac92,\qquad f(0)=-\frac12.$$よって最大値は$\frac92$（$x=-2$）、最小値は$-\frac12$（$x=0$）である。
(4) 分母は正であり、分子は$(2x+1)(x-1)$と因数分解できるので、曲線が$x$軸と交わるのは$x=-\frac12,1$であり、その間で$f(x)<0$である。したがって囲まれた部分の面積は$$\begin{aligned}S&=-\int_{-1/2}^{1}f(x)\,dx\\&=-\left[2x-\frac52\log\bigl((x+1)^2+1\bigr)\right]_{-1/2}^{1}\\&=\frac52\log4-3=5\log2-3.\end{aligned}$$$$S=-{\int }_{-1/2}^{1}f(x)dx$$$$=-{\left[2x-\frac{5}{2}\log ((x+1{)}^2+1)\right]}_{-1/2}^1$$$$=\frac{5}{2}\log 4-3=5\log 2-3.$$