3島根大学 2024年 数学 第3問解答・解説

微分による符号・凹凸の判定を行い、最後の積分不等式は単調性と区間の置換だけで示す。

(1) $f$ を $x=0$ においても $f(0)=0$ と定めると、$f$ は $0\leqq x\leqq\pi$ で連続である。微分すると
$$f'(x)=-x^2\cos x.$$
よって $0<x<\pi/2$ では $f'(x)<0$ なので、$f$ は $0\leqq x\leqq\pi/2$ で減少し、$f(x)<f(0)=0$（$0<x\leqq\pi/2$）である。また
$$f\left(\frac\pi2\right)=2-\frac{\pi^2}{4}<0,\qquad f(\pi)=2\pi>0.$$
ここで $\pi>3$ より $\pi^2>8$ である。$\pi/2<x<\pi$ では $f'(x)>0$ だから $f$ は増加であり、中間値の定理により $f(x)=0$ は $\pi/2<x<\pi$ の範囲にただ1つ存在する。$0<x\leqq\pi/2$ の範囲には解がなく、全体でも解はただ1つである。

(2) $g(x)=\sin x/x$ とおくと
$$g'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$
$h(x)=x\cos x-\sin x$ とおけば $h(0)=0$ とおけて
$$h'(x)=-x\sin x<0\quad(0<x<\pi).$$
したがって $h(x)<0$、ゆえに $g'(x)<0$ であり、$g$ は $0<x<\pi$ で単調減少する。
さらに
$$g''(x)=\frac{(-x^2+2)\sin x-2x\cos x}{x^3}=\frac{f(x)}{x^3}.$$
(1) で示した符号から、$0<x<\alpha$ では $g''(x)<0$、$\alpha<x<\pi$ では $g''(x)>0$ である。よってグラフは $x=\alpha$ で変曲し、$0<x<\alpha$ で上に凸、$\alpha<x<\pi$ で下に凸となる。なお $\lim_{x\to +0}g(x)=1$ は問題で与えられた極限による。また $\lim_{x\to\pi-0}g(x)=0$ である。したがってグラフは $(0,1)$ に近づきながら減少し、$x=\alpha$ で凹凸を変えた後、$(\pi,0)$ に近づく形である（両端点は定義域に含まれない）。

(3) $g$ は減少する。$0<u<t$ なら
$$\frac\pi2-u<\frac\pi2+u \quad\text{より}\quad g\left(\frac\pi2-u\right)>g\left(\frac\pi2+u\right).$$
両辺を $u$ について $0$ から $t$ まで積分し、左辺と右辺でそれぞれ変数変換を行うと
$$\int_{\pi/2-t}^{\pi/2}g(x)\,dx =\int_0^t g\left(\frac\pi2-u\right)du >\int_0^t g\left(\frac\pi2+u\right)du =\int_{\pi/2}^{\pi/2+t}g(x)\,dx.$$
$0<t<\pi/2$ なので積分区間はすべて $0<x<\pi$ に含まれ、示された。