4滋賀医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 三辺が三角形を作るための条件は、どの一辺も他の二辺の和より小さいことである。したがって
$$1+a>b,\quad 1+b>a,\quad a+b>1.$$
最初の二つは $|a-b|<1$ にまとめられる。また辺の長さなので $a>0,\ b>0$ である。よって求める範囲は、第一象限のうち $a+b>1$ かつ $|a-b|<1$ を満たす部分であり、境界線は含まない。図では $a+b=1$ より上で、$b=a-1$ と $b=a+1$ の間にある領域を第一象限内で取る。

(2) 二辺のなす角を $C$ とすると、三角形の面積は
$$1=\frac12ab\sin C,\qquad 0<C<\pi.$$
よって $0<\sin C\leqq1$ から $ab\geqq2$ が必要である。逆に $a,b>0$ かつ $ab\geqq2$ なら $\sin C=\dfrac{2}{ab}$ となる $0<C<\pi$ が取れるので、長さ $a,b$ の二辺がなす角を $C$ とする三角形を作れて、その面積は 1 である。等号 $ab=2$ のときは $C=\dfrac{\pi}{2}$ であり、境界も含む。したがって、第一象限の双曲線 $ab=2$ 上およびその上側が求める範囲である。

(3) 内接円の中心は $\mathrm{O}(0,0)$、半径は 1 である。$\mathrm{A}(2,0)$ から円に引いた接線の接点を $T=(u,v)$ とすると、$u^2+v^2=1$ かつ $\mathrm{OT}\perp\mathrm{AT}$ より $(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OT}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OT}}=0$、すなわち $2u-1=0$ である。よって接点は $\left(\dfrac12,\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ であり、辺 AB、AC を含む直線は
$$\mathrm{AB}:\ x+\sqrt3\,y=2,\qquad \mathrm{AC}:\ x-\sqrt3\,y=2.$$
頂点 A から円へ向かう単位方向ベクトルを $\vec{u}_+=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)$、$\vec{u}_-=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)$ とする。残る辺 BC が円に接する点を $Q=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおけば、その接線は
$$x\cos\theta+y\sin\theta=1$$
である。この直線と $A+t\vec{u}_+$、$A+s\vec{u}_-$ との交点は、それぞれ
$$t=\frac{1-2\cos\theta}{\cos\left(\theta-\frac{5\pi}{6}\right)},\qquad s=\frac{1-2\cos\theta}{\cos\left(\theta-\frac{7\pi}{6}\right)}$$
となる。
三角形が円を内接円として含むには、A が BC と円の同じ側になければならず、$2\cos\theta<1$ である。また B、C が A から円へ向かう二つの半直線上にある条件は $t>0$、$s>0$ である。これらを合わせると $\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3}$ となる。この範囲では分母と分子はいずれも正で有限なので、各 θ に対し三角形が実際に作れる。したがって、この角度範囲で接線分 $B_\theta C_\theta$ を動かしたときに線分が通過してできる領域が求める範囲である。各線分の両端は含む。θ が $\dfrac{2\pi}{3}$、$\dfrac{4\pi}{3}$ のときは接線が固定辺と平行になり有限の三角形を作れないため、その端の θ に対応する線分は含まない。

(3) の求める領域は、$s=|y|$ とおくと、次の不等式を満たす点全体である。
$$x<0,\qquad s\leqq\frac{2-x}{\sqrt3},\qquad x+\sqrt3\,s>-2$$
かつ、次のいずれかを満たす。
$$\begin{cases}s<-\sqrt3\,x,\\x^2+s^2\geqq1\end{cases}\quad\text{または}\quad\begin{cases}s\geqq-\sqrt3\,x,\\-x+\sqrt3\,s>2.\end{cases}$$
A(2,0) から単位円に引いた 2 接線は $x\pm\sqrt3\,y=2$ であり、P はその間の角領域にあるので $|y|\leqq\dfrac{2-x}{\sqrt3}$ となる。第 3 の接線 $x\cos\theta+y\sin\theta=1$ について、内接円をもつ三角形となる条件は $\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3}$ であり、この角区間で $F(\theta)=x\cos\theta+y\sin\theta$ が 1 になるかを調べる。
$x\geqq0$ のとき、この角領域の点では $F<1$ であるから不可能である。
$x<0$ のとき、閉角区間での最小値は $\dfrac{-x-\sqrt3\,s}{2}$ で端点のみに現れる。ゆえに 1 に達するには、この値が 1 より小さいこと、すなわち $x+\sqrt3\,s>-2$ が必要である。
最大値は、$s<-\sqrt3\,x$ なら内点で $\sqrt{x^2+s^2}$、$s\geqq-\sqrt3\,x$ なら端点で $\dfrac{-x+\sqrt3\,s}{2}$ である。前者は 1 以上、後者は端点を除くため 1 より大きいことが必要で、上記の場合分けを得る。連続性からこれらの条件は十分でもある。角領域内にあるこの接線上の点は線分 BC 上にある。

境界の扱いは次のとおりである。単位円の左側の弧は $x<-\dfrac12$ の部分を含むが、両端 $\left(-\dfrac12,\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ は含まない。2 本の固定接線上では $x<0$ の部分を含み、$x=0$ の端点は含まない。斜線境界のうち $x+\sqrt3|y|=-2$ の $x\leqq-2$ の部分、および $-x+\sqrt3|y|=2$ の $-\dfrac12\leqq x\leqq0$ の部分は含まない。(1) の 3 本の直線境界も含まず、(2) の双曲線 $ab=2$ は含む。