3滋賀医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ の座標を $\mathrm{P}(p,\,t)$、$\mathrm{Q}(-p,\,t)$（$p>0$）とおく。$\dfrac{p^{2}}{a^{2}}-\dfrac{t^{2}}{b^{2}}=1$ より $p=\dfrac{a}{b}\sqrt{t^{2}+b^{2}}$ である。
双曲線 $H$ 上の点 $(x_{1},\,y_{1})$ における接線は $\dfrac{x_{1}x}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}y}{b^{2}}=1$ である。よって $\mathrm{P}$ における接線は $\dfrac{px}{a^{2}}-\dfrac{ty}{b^{2}}=1$、$\mathrm{Q}$ における接線は $-\dfrac{px}{a^{2}}-\dfrac{ty}{b^{2}}=1$ である。両式の和と差をとると、$x=0$、$y=-\dfrac{b^{2}}{t}$ となるので、$\mathrm{R}\left(0,\,-\dfrac{b^{2}}{t}\right)$ である。

(2)

$\mathrm{PQ}=2p=\dfrac{2a}{b}\sqrt{t^{2}+b^{2}}$、点 $\mathrm{R}$ から直線 $y=t$ までの距離は $\left|t+\dfrac{b^{2}}{t}\right|=\dfrac{t^{2}+b^{2}}{|t|}$ だから、三角形の面積は
$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{PQ}\cdot\dfrac{t^{2}+b^{2}}{|t|}=\dfrac{a(t^{2}+b^{2})^{\dfrac{3}{2}}}{b|t|}.$$

(3)

$u=\dfrac{t^{2}}{b^{2}}>0$ と置くと $S=\dfrac{ab(1+u)^{\dfrac{3}{2}}}{\sqrt{u}}$ である。正の量の平方について
$$\dfrac{S^{2}}{a^{2}b^{2}}=\dfrac{(1+u)^{3}}{u}=\dfrac{27}{4}+\dfrac{(2u-1)^{2}(u+4)}{4u}\geqq\dfrac{27}{4}.$$
等号は $u=\dfrac{1}{2}$、すなわち $t=\pm\dfrac{b}{\sqrt{2}}$ のときに限る。よって $S$ の最小値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}ab$ である。