2滋賀医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

部分分数分解による望遠和、導関数の符号による不等式の証明、および数列のはさみうちを用いる。

(1) $k\geqq2$ ならば k-1<k より
$$\frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$
である。したがって $n\geqq2$ に対し
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} =1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} <1+\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) =1+1-\frac{1}{n} =2-\frac{1}{n}.$$

(2) $x\geqq0$ とする。まず $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-1+\cos x$ とおくと、
$$g(0)=g'(0)=0,\qquad g''(x)=1-\cos x\geqq0.$$
$g''(x)\geqq0$ より $g'$ は単調増加するので、$x\geqq0$ では $g'(x)\geqq g'(0)=0$、さらに $g(x)\geqq g(0)=0$ である。よって $1-\cos x\leqq\frac{x^{2}}{2}$。

次に $h(x)=1-\cos x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}$ とおくと、
$$h(0)=h'(0)=0,\qquad h''(x)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}=g(x)\geqq0.$$
したがって同様に $h'(x)\geqq0$、$h(x)\geqq0$ となり、
$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\leqq1-\cos x$$
を得る。

(3) (2) に $x=\dfrac{1}{k}$ を代入して $k^{2}$ を掛けると、
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{24k^{2}}\leqq k^{2}\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)\leqq\frac{1}{2}.$$
これを $k=1,\ldots,n$ について加え、$n$ で割ると、
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{24n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} \leqq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}-k^{2}\cos\frac{1}{k}\right) \leqq\frac{1}{2}.$$
(1) より $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}<2$ だから、
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{12n} <\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}-k^{2}\cos\frac{1}{k}\right) \leqq\frac{1}{2}.$$
両端は $n\to\infty$ でともに $\frac{1}{2}$ に収束するので、求める極限は $\boxed{\frac{1}{2}}$ である。