2東京科学大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$xyz$ 空間において、3点 $(0,\,0,\,0),\,(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0)$ を通る平面 $\pi_{1}$ と、3点 $(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0),\,(0,\,0,\,1)$ を通る平面 $\pi_{2}$ を考える。$x_{0}=1$、$y_{0}=2$、$z_{0}=-2$ として、点 $P_{0}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$ から始めて、次の手順で順に点 $P_{1}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}),\ P_{2}(x_{2},\,y_{2},\,z_{2}),\ \cdots$ を決める。

・$k$ が偶数のとき、$\pi_{1}$ 上の点で点 $P_{k}(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ からの距離が最小となるものを $P_{k+1}(x_{k+1},\,y_{k+1},\,z_{k+1})$ とする。
・$k$ が奇数のとき、$\pi_{2}$ 上の点で点 $P_{k}(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ からの距離が最小となるものを $P_{k+1}(x_{k+1},\,y_{k+1},\,z_{k+1})$ とする。

このとき以下の各問いに答えよ。

(1) $\pi_{2}$ に直交するベクトルのうち、長さが1で $x$ 成分が正のもの $\vec{n_{2}}$ を求めよ。

(2) $x_{k+1},\,y_{k+1},\,z_{k+1}$ をそれぞれ $x_{k},\,y_{k},\,z_{k}$ を用いて表せ。

(3) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{k}$、$\displaystyle\lim_{k\to\infty}y_{k}$、$\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_{k}$ を求めよ。