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東京科学大学／2023年度／前期

3東京科学大学 2023年 数学 第3問解答・解説

積分法極限指数関数・対数関数

難易度必答 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

東京科学大学2023年度第3問
a, ba,\,b を正の実数、pp を aa より小さい正の実数とし、すべての実数 xx について
∫pf(x)au(a−u) du=bx,0<f(x)<a \displaystyle\int_{p}^{f(x)}\dfrac{a}{u(a-u)}\,du=bx,\qquad 0<f(x)<a
かつ f(0)=pf(0)=p を満たす関数 f(x)f(x) を考える。このとき以下の各問いに答えよ。

(1) f(x)f(x) を a, b, pa,\,b,\,p を用いて表せ。

(2) f(−1)=12f(-1)=\dfrac{1}{2}、f(1)=1f(1)=1、f(3)=32f(3)=\dfrac{3}{2} のとき、a, b, pa,\,b,\,p を求めよ。

(3) (2) のとき、lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) と lim⁡x→∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) を求めよ。

出典：東京科学大学 2023年度 前期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    f(x)=apebxa−p+pebxf(x)=\dfrac{ape^{bx}}{a-p+pe^{bx}}
  • (2)
    a=2, b=12log⁡3, p=3−1a=2,\ b=\dfrac{1}{2}\log3,\ p=\sqrt{3}-1
  • (3)
    lim⁡x→−∞f(x)=0, lim⁡x→∞f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\ \lim_{x\to\infty}f(x)=2

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

au(a−u)=1u+1a−u\dfrac{a}{u(a-u)}=\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{a-u} と部分分数に分けて積分する。g(x)=f(x)a−f(x)g(x)=\dfrac{f(x)}{a-f(x)} は ebxe^{bx} に比例するので、等間隔の x=−1, 1, 3x=-1,\,1,\,3 で gg は等比数列になる。

解答

(1) au(a−u)=1u+1a−u\dfrac{a}{u(a-u)}=\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{a-u}、0<u<a0<u<a で積分して
∫pf(x)au(a−u) du=log⁡f(x)a−f(x)−log⁡pa−p=bx. \displaystyle\int_{p}^{f(x)}\dfrac{a}{u(a-u)}\,du=\log\dfrac{f(x)}{a-f(x)}-\log\dfrac{p}{a-p}=bx .
よって f(x)a−f(x)=pa−pebx\dfrac{f(x)}{a-f(x)}=\dfrac{p}{a-p}e^{bx} で、
f(x)=apebxa−p+pebx. f(x)=\dfrac{ape^{bx}}{a-p+pe^{bx}}.

(2) g(x)=f(x)a−f(x)=pa−pebxg(x)=\dfrac{f(x)}{a-f(x)}=\dfrac{p}{a-p}e^{bx} とおくと g(−1), g(1), g(3)g(-1),\,g(1),\,g(3) は公比 e2be^{2b} の等比数列で、g(1)2=g(−1)g(3)g(1)^{2}=g(-1)g(3)。
g(−1)=12a−1,g(1)=1a−1,g(3)=32a−3 g(-1)=\dfrac{1}{2a-1},\quad g(1)=\dfrac{1}{a-1},\quad g(3)=\dfrac{3}{2a-3}
より (2a−1)(2a−3)=3(a−1)2(2a-1)(2a-3)=3(a-1)^{2}、a2−2a=0a^{2}-2a=0。f(3)=32<af(3)=\dfrac{3}{2}<a より a=2a=2。このとき g(−1)=13g(-1)=\dfrac{1}{3}、g(1)=1g(1)=1、g(3)=3g(3)=3 で e2b=3e^{2b}=3、b=12log⁡3b=\dfrac{1}{2}\log3。g(0)=g(1)eb=13=p2−pg(0)=\dfrac{g(1)}{e^{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{p}{2-p} より p=23+1=3−1p=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1（0<p<a0<p<a を満たす）。

(3) b>0b>0 なので x→−∞x\to-\infty で ebx→0e^{bx}\to0、f(x)→0f(x)\to0。x→∞x\to\infty では f(x)=ap(a−p)e−bx+p→a=2f(x)=\dfrac{ap}{(a-p)e^{-bx}+p}\to a=2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 部分分数分解
  • 等比数列の性質
  • ロジスティック関数

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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