2東京科学大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$xy$ 平面上の放物線 $P:\ y^{2}=4x$ 上に異なる2点A, Bをとり、A, Bそれぞれにおいて $P$ への接線と直交する直線を $n_{\mathrm{A}},\,n_{\mathrm{B}}$ とする。$a$ を正の数として、点Aの座標を $(a,\,\sqrt{4a})$ とするとき、以下の各問いに答えよ。

(1) $n_{\mathrm{A}}$ の方程式を $a$ を用いて表せ。

(2) 直線ABと直線 $y=\sqrt{4a}$ とがなす角の2等分線のひとつが、$n_{\mathrm{A}}$ に一致するとき、直線ABの方程式を $a$ を用いて表せ。

(3) (2) のとき、点Bを通る直線 $r_{\mathrm{B}}$ を考える。$r_{\mathrm{B}}$ と直線ABとがなす角の2等分線のひとつが、$n_{\mathrm{B}}$ に一致するとき、$r_{\mathrm{B}}$ の方程式を $a$ を用いて表せ。

(4) (3) のとき、直線ABと放物線 $P$ で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ とし、$P$ と直線 $y=\sqrt{4a}$、直線 $x=-1$ および (3) の $r_{\mathrm{B}}$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とする。$a$ を変化させたとき、$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}$ の最大値を求めよ。