3東京科学大学 2022年 数学 第3問解答・解説

PからQまでの接線の長さは $(1-a)\sqrt{1+f'(a)^{2}}$。これが1から $f'$ が決まる（追跡線の問題）。(2) は $(1-x)f'(x)=\sqrt{2x-x^{2}}$ で円の一部の面積。(3) は $y$ で積分して置換すると (2) と同じ積分になる。

(1) Pでの接線と $x=1$ の交点は $\mathrm{Q}(1,\,f(a)+f'(a)(1-a))$ なので
$$\mathrm{PQ}=(1-a)\sqrt{1+f'(a)^{2}}=1 .$$
$f'(a)>0$ より $f'(a)=\sqrt{\dfrac{1}{(1-a)^{2}}-1}=\dfrac{\sqrt{2a-a^{2}}}{1-a}$。よって $f'(x)=\dfrac{\sqrt{2x-x^{2}}}{1-x}$。

(2) $(1-x)f'(x)=\sqrt{2x-x^{2}}=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$。$x-1=u$ として
$$\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{1-u^{2}}\,du$$
は、単位円の $-1\leqq u\leqq-\dfrac{1}{2}$ の上半分の面積で、扇形（中心角 $\dfrac{\pi}{3}$）から三角形を引いて
$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}.$$

(3) $f$ は増加で、$x\to1$ で $f'(x)\to\infty$。求める図形は $0\leqq y\leqq f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ で曲線の右側から $x=1$ までの部分なので、面積は
$$\displaystyle\int_{0}^{f(\frac{1}{2})}(1-x)\,dy .$$
$y=f(x)$ と置換すると $dy=f'(x)\,dx$、$x$ は $0$ から $\dfrac{1}{2}$ まで動くので、(2) の積分と同じになり、面積は $\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$。