1東京科学大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ とすると $\mathrm{P}_{i,j}$ は複素数 $\omega^{i}+\omega^{j}$。単位円上の2点の和として表したとき、その2点が一通りに決まるかを (3) で調べる。和が0になるとき（向かい合う2点）だけ一通りでない。

$\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ とおくと、$\mathrm{P}_{i,j}$ は複素数 $\omega^{i}+\omega^{j}$ を表す。

(1) $n=3$ のとき $\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。
$\mathrm{P}_{0,0}=(2,\,0)$、$\mathrm{P}_{0,1}=1+\omega=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\mathrm{P}_{0,2}=1+\omega^{2}=\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
$\mathrm{P}_{1,0}=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\mathrm{P}_{1,1}=2\omega=(-1,\,\sqrt{3})$、$\mathrm{P}_{1,2}=\omega+\omega^{2}=(-1,\,0)$。
どちらも1辺 $\sqrt{3}$ の正三角形で、頂点 $\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ を共有する（2つ目は1つ目を原点のまわりに $120^{\circ}$ 回転したもの）。

(2) $\omega=i$。$i^{a}+i^{b}$ の値は、$a=b$ で $\pm2,\,\pm2i$ の4個、$a\neq b$ で $\pm1\pm i$ の4個と $0$（$1+(-1)$、$i+(-i)$）。よって $S_{4}=9$。

(3) Qは A, B を中心とする半径1の2円の共有点。中心間の距離 $d$ と半径の和2を比べて、$0<d<2$ で2個、$d=2$ で1個、$d>2$ で0個。

(4) $\{i,\,j\}$（$0\leqq i\leqq j\leqq n-1$）の組は $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個。和 $z=\omega^{i}+\omega^{j}$ から組が決まるかを調べる。$u=\omega^{i}$、$v=\omega^{j}$ は $|u|=1$、$|z-u|=|v|=1$ を満たすので、$u,\,v$ は原点と $z$ からの距離がともに1の点である。

- $0<|z|<2$：(3) よりそのような点はちょうど2個で、それが $u,\,v$。組は一通り。
- $|z|=2$：1個で $u=v$。一通り。
- $z=0$：$v=-u$ となる組すべて。$n$ が偶数のときだけ起こり、その組は $\dfrac{n}{2}$ 個。

よって $n$ が奇数なら $S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$、偶数なら $S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{n}{2}+1=\dfrac{n^{2}}{2}+1$（$S_{4}=9$ と合う）。